M
O paralelogramo ABCD (Figura 130) é determinado
pelos vetores AB • AD sendo M e N pontos medio
dos lados DC e AB. respecuvamente. Determinar:
a) AD+AB
b)BA+DA
c)AC-BC
d)AN+BC
e)MD+MB
f)BM-1/2DC
Figura 1.30​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores em um paralelogramo! A gente tem o paralelogramo ABCD, definido pelos vetores AB e AD. Além disso, M e N são os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Vamos precisar usar conceitos de soma e diferença de vetores, além de propriedades dos paralelogramos. Bora lá!

Passo 2

a) Calcular AD + AB
No paralelogramo, os vetores AB e AD partem do mesmo ponto A. Quando somamos esses vetores, estamos basicamente indo de A para B e depois de A para D. Geometricamente, isso equivale a ir de A diretamente para o ponto que é o vértice oposto, ou seja, o ponto C.
Então:
AD + AB = AC

Passo 3

b) Calcular BA + DA
Primeiro, vamos lembrar que BA = -AB e DA = -AD, porque inverter a direção do vetor muda seu sinal.
Então:
BA + DA = -AB - AD = -(AB + AD)
Como vimos na parte a), AB + AD = AC, logo:
BA + DA = -AC

Passo 4

c) Calcular AC - BC
Primeiro, vamos expressar BC em termos de BA:
BC = BA + AC
Substituindo na expressão original:
AC - BC = AC - (BA + AC) = -BA
E como BA = -AB:
AC - BC = AB

Passo 5

d) Calcular AN + BC
Sabemos que N é o ponto médio de AB, então:
AN = 12AB
E de c) sabemos que BC = BA + AC = -AB + AC
Somando:
AN + BC = 12AB + (-AB + AC) = -12AB + AC

Passo 6

e) Calcular MD + MB
M é o ponto médio de DC, então:
MD = 12DC
E MB pode ser escrita como:
MB = MC + CB
Como M é o ponto médio, MC = -12DC, e CB = -BC.
Substituindo:
MB = -12DC - BC
Somando MD e MB:
MD + MB = 12DC - 12DC - BC = -BC

Passo 7

f) Calcular BM - 12DC
Primeiro, vamos encontrar BM:
BM = -MB = BC + 12DC
Então:
BM - 12DC = BC + 12DC - 12DC = BC

Resposta

a) AD + AB = AC
b) BA + DA = -AC
c) AC - BC = AB
d) AN + BC = -12AB + AC
e) MD + MB = -BC
f) BM - 12DC = BC

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