M
O paralelogramo ABCD (Figura 130) é determinado
pelos vetores AB • AD sendo M e N pontos medio
dos lados DC e AB. respecuvamente. Determinar:
a) AD+AB
b)BA+DA
c)AC-BC
d)AN+BC
e)MD+MB
f)BM-1/2DC
Figura 1.30
O paralelogramo ABCD (Figura 130) é determinado
pelos vetores AB • AD sendo M e N pontos medio
dos lados DC e AB. respecuvamente. Determinar:
a) AD+AB
b)BA+DA
c)AC-BC
d)AN+BC
e)MD+MB
f)BM-1/2DC
Figura 1.30
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores em um paralelogramo! A gente tem o paralelogramo ABCD, definido pelos vetores
e
. Além disso, M e N são os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Vamos precisar usar conceitos de soma e diferença de vetores, além de propriedades dos paralelogramos. Bora lá!
Passo 2
a) Calcular
No paralelogramo, os vetores
e
partem do mesmo ponto A. Quando somamos esses vetores, estamos basicamente indo de A para B e depois de A para D. Geometricamente, isso equivale a ir de A diretamente para o ponto que é o vértice oposto, ou seja, o ponto C.
Então:
Passo 3
b) Calcular
Primeiro, vamos lembrar que
e
, porque inverter a direção do vetor muda seu sinal.
Então:
Como vimos na parte a),
, logo:
Passo 4
c) Calcular
Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Substituindo na expressão original:
E como
:
Passo 5
d) Calcular
Sabemos que N é o ponto médio de AB, então:
E de c) sabemos que
Somando:
Passo 6
e) Calcular
M é o ponto médio de DC, então:
E
pode ser escrita como:
Como M é o ponto médio,
, e
.
Substituindo:
Somando
e
:
Passo 7
f) Calcular
Primeiro, vamos encontrar
:
Então:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)