Dado um vetor v no espaço bidimensional, mostre que v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos i e j. Escreva as componentes de v em termos do módulo ( v ) e do ângulo que esse vetor forma com o eixo x.

Passo 1

Então, a gente tem um vetor v no plano (bidimensional) e queremos mostrar que ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos i e j. Basicamente, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e trigonometria para encontrar as componentes de v usando o seu módulo v e o ângulo theta que ele faz com o eixo x.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1) pode ser escrita assim:
v = ai + bj
Nesse caso, a e b são números que multiplicam cada vetor canônico. Isso significa que podemos representar v como (a, b).

Passo 3

Agora, vamos trazer a trigonometria para isso. O módulo do vetor v, que a gente chama de v, é a distância do ponto até a origem e é dado por:
v = raiza^2 + b^2
Isso vem diretamente do Teorema de Pitágoras, já que estamos no plano.

Passo 4

O ângulo theta que o vetor faz com o eixo x nos dá mais informações sobre a direção do vetor. A gente usa as funções trigonométricas cosseno e seno para relacionar esse ângulo com as componentes a e b:
cos(theta) = av e sin(theta) = bv
Essas fórmulas vêm da definição das funções trigonométricas no triângulo formado pelo vetor.

Passo 5

Vamos isolar a e b nessas equações para expressar as componentes em termos de v e theta:
a = v cos(theta) e b = v sin(theta)
Assim, substituindo de volta na combinação linear, temos que o vetor v fica:

Resposta

v = vcos(theta)i + vsin(theta)j
Ou seja, as componentes de v em função do módulo v e do ângulo theta são vcos(theta) na direção de i e vsin(theta) na direção de j.

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