Dado um vetor v no espaço bidimensional, mostre que v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos i e j. Escreva as componentes de
em termos do módulo (
) e do ângulo que esse vetor forma com o eixo
.
Passo 1
Então, a gente tem um vetor
no plano (bidimensional) e queremos mostrar que ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos
e
. Basicamente, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e trigonometria para encontrar as componentes de
usando o seu módulo
e o ângulo
que ele faz com o eixo
.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma combinação linear dos vetores
e
pode ser escrita assim:
Nesse caso,
e
são números que multiplicam cada vetor canônico. Isso significa que podemos representar
como
.
Passo 3
Agora, vamos trazer a trigonometria para isso. O módulo do vetor
, que a gente chama de
, é a distância do ponto até a origem e é dado por:
Isso vem diretamente do Teorema de Pitágoras, já que estamos no plano.
Passo 4
O ângulo
que o vetor faz com o eixo
nos dá mais informações sobre a direção do vetor. A gente usa as funções trigonométricas cosseno e seno para relacionar esse ângulo com as componentes
e
:
Essas fórmulas vêm da definição das funções trigonométricas no triângulo formado pelo vetor.
Passo 5
Vamos isolar
e
nessas equações para expressar as componentes em termos de
e
:
Assim, substituindo de volta na combinação linear, temos que o vetor
fica:
Resposta
Ou seja, as componentes de
em função do módulo
e do ângulo
são
na direção de
e
na direção de
.