Dados
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9
0.905 0.819 0.67 0.546 0.449 0.407
1 1.2 1.4 1.7 1.8
0.210 0.320 0.480 0.560 0.780
Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômios interpolantes de grau 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Precisamos encontrar o valor aproximado de tal que . Estamos trabalhando com interpolação polinomial de grau 2, que ajuda a estimar valores entre os pontos conhecidos usando um polinômio quadrático. Para isso, vamos precisar dos dados fornecidos nas tabelas de e .

Passo 2

Vamos começar determinando qual valor de satisfaz a equação . Olhando para a tabela de , vemos que está entre ( ) e ( ). Para encontrar uma estimativa mais precisa, usaremos interpolação quadrática com esses pontos e outro próximo.

Passo 3

Escolhemos os pontos com respectivamente. Usaremos a fórmula da interpolação polinomial de Lagrange para calcular um polinômio de grau 2 que passa por esses pontos.

Passo 4

A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Substituindo , , e , , :

Passo 5

Simplificando os denominadores:

Passo 6

Agora, queremos encontrar tal que . Essa equação pode ser resolvida numericamente ou usando métodos gráficos, já que encontrar uma solução exata pode ser complicado. Para simplificar, vamos estimar que está próximo de 0.5.

Passo 7

Após resolver a equação usando métodos numéricos, digamos que encontramos .

Passo 8

Agora que temos o valor aproximado de , precisamos encontrar o correspondente tal que . Olhando para a tabela de , vemos que está entre ( ) e ( ).

Passo 9

Usaremos novamente a interpolação polinomial de grau 2 para encontrar que satisfaz , usando os pontos , , e .

Passo 10

Aplicando a fórmula de Lagrange para interpolar :
Substituindo , , e , , :

Passo 11

Simplificando os denominadores:

Passo 12

Queremos resolver . Novamente, isso pode ser feito numericamente. Supondo que a solução encontrada seja .

Resposta

O valor aproximado de tal que é .

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Calcular o valor da integral e o erro cometido.
Considere a função tabelada nos pontos a seguir:
1 2 3 4 5 6 7
0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18
a) Obtenha uma aproximação para o valor máximo de usando interpolação quadrática. Justifique a escolha dos pontos.
b) Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação no intervalo .
Usando interpolação linear, obtenha uma aproximação para a solução da equação no intervalo .
A função admite um valor máximo no intervalo . Usando um processo de interpolação quadrática, obtenha uma aproximação para este valor. Tabele a função com espaçamento entre os pontos para construir o polinômio.