Dados , e , encontre e . Além disso, verifique as seguintes propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três matrizes:
A tarefa é encontrar as transpostas dessas matrizes, que a gente vai chamar de , e . Além disso, precisamos verificar se a transposta da soma de e é igual à soma das transpostas de e , ou seja:
Para isso, vamos precisar saber como tirar a transposta de uma matriz e como as operações de soma e transposição interagem. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transposta de cada matriz. A transposta de uma matriz é simplesmente uma nova matriz onde as linhas viram colunas e vice-versa. Por exemplo, se tivermos:
A transposta será:
Vamos aplicar isso para cada matriz dada.
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Tirando a transposta:
Passo 4
Agora, a matriz :
Transpondo:
Passo 5
Por último, a matriz :
A transposta de uma matriz 2x3 será uma matriz 3x2. Então:
Passo 6
Agora que temos A + B = 0 + 3 & 4 + (-8) -1 + 0 & 3 + 1 = 3 & -4 -1 & 4 e , vamos calcular primeiro para depois tirar a transposta dessa soma.
Somando e :
Passo 7
Agora, vamos tirar a transposta de (A + B)' = 3 & -1 -4 & 4 :
Passo 8
Vamos somar as transpostas A' + B' = 0 & -1 4 & 3 + 3 & 0 -8 & 1 = 0 + 3 & -1 + 0 4 + (-8) & 3 + 1 = 3 & -1 -4 & 4 e que encontramos anteriormente:
Passo 9
Agora, vamos comparar (A + B)' = 3 & -1 -4 & 4 e A' + B' = 3 & -1 -4 & 4 :
Vemos que são iguais!
Resposta
Encontramos as transpostas:
A' = 0 & -1 4 & 3 , B' = 3 & 0 -8 & 1 , C' = 1 & 6 0 & 1 9 & 1