Dados A=[cc0 & 4 -1 & 3], B=[cc3 & -8 0 & 1] e C=[lll1 & 0 & 9 6 & 1 & 1], encontre A^prime, B^prime e C^prime. Além disso, verifique as seguintes propriedades:
(A C)^prime=C^prime A^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as transpostas das matrizes , e . Depois, vamos verificar se a transposta do produto de e é igual ao produto das transpostas de e , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a transposta de uma matriz. Basicamente, a transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, se você tiver uma matriz com elementos , a transposta terá os elementos .

Passo 3

Vamos começar encontrando a transposta de A = 0 & 4 -1 & 3 . A matriz A^prime = 0 & -1 4 & 3 é:
Para encontrar , trocamos linhas por colunas:

Passo 4

Agora, vamos para a matriz B = 3 & -8 0 & 1 :
B^prime = 3 & 0 -8 & 1
Transpondo :

Passo 5

Por fim, temos a matriz C = 1 & 0 & 9 6 & 1 & 1 :
C^prime = 1 & 6 0 & 1 9 & 1
Transpondo :

Passo 6

Agora que temos AC = A times C = 0 & 4 -1 & 3 times 1 & 0 & 9 6 & 1 & 1 = (0 times 1 + 4 times 6) & (0 times 0 + 4 times 1) & (0 times 9 + 4 times 1) (-1 times 1 + 3 times 6) & (-1 times 0 + 3 times 1) & (-1 times 9 + 3 times 1) = 24 & 4 & 4 17 & 3 & -6 , (AC)^prime = 24 & 4 & 4 17 & 3 & -6 ^prime = 24 & 17 4 & 3 4 & -6 e C^prime A^prime = 1 & 6 0 & 1 9 & 1 times 0 & -1 4 & 3 = (1 times 0 + 6 times 4) & (1 times -1 + 6 times 3) (0 times 0 + 1 times 4) & (0 times -1 + 1 times 3) (9 times 0 + 1 times 4) & (9 times -1 + 1 times 3) = 24 & 17 4 & 3 4 & -6 , vamos verificar a propriedade .
Primeiro, vamos calcular o produto :
Agora, a transposta de :
Agora, vamos multiplicar por :

Resposta

Como 24 & 17 4 & 3 4 & -6 e 24 & 17 4 & 3 4 & -6 , a propriedade é verdadeira.

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