Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
© w=(pi, raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores no plano:
  • V é o conjunto de vetores onde as duas componentes são iguais, ou seja, .
  • U é o conjunto de vetores onde a soma das componentes é zero, .
A gente precisa escrever o vetor como a soma de um vetor de V e um vetor de U. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor de V de porque em V. E o vetor de U a gente vai chamar de porque implica .

Passo 3

Agora, queremos que (pi, raiz2) = (a, a) + (b, -b) = (a + b, a - b) . Ou seja:
a + b = pi a - b = raiz2
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 4

Para resolver esse sistema, vamos somar as duas equações:
(a + b) + (a - b) = pi + raiz2 2a = pi + raiz2 a = pi + raiz22

Passo 5

Agora, vamos substituir o valor de pi + raiz22 + b = pi b = pi - pi + raiz22 b = 2pi - pi - raiz22 b = pi - raiz22 em uma das equações para encontrar . Vamos usar :

Resposta

Portanto, o vetor w = ( pi + raiz22, pi + raiz22 ) + ( pi - raiz22, -pi + raiz22 ) pode ser escrito como a soma de um vetor de V e outro de U da seguinte forma:

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