Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(d) z=(7,6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor como a soma de um elemento do conjunto e outro do conjunto . Os conjuntos são definidos assim:
  • : ou seja, todos os vetores onde as duas componentes são iguais.
  • : todos os vetores cujas componentes somam zero no módulo 11.
Para resolver, vamos encontrar vetores e tais que .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar v = (a, a) e u = (b, -b) de maneira geral. Como , temos:
Onde é um elemento de .
Como , temos:
Onde também é um elemento de , já que .

Passo 3

Agora, somando v + u = (a + b, a - b) e a + b equiv 7 pmod11 a - b equiv 6 pmod11 :
Queremos que isso seja igual a . Portanto, temos as equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de congruências. Somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) equiv 7 + 6 pmod11
2a equiv 13 pmod11
Como 2a equiv 2 pmod11 , temos:
a equiv 1 pmod11
Dividindo ambos os lados por 2 (que é inversível módulo 11, já que a = 1 ):

Passo 5

Com 1 + b equiv 7 pmod11 , substituímos na primeira equação para encontrar b equiv 6 pmod11 :
b = 6

Passo 6

Agora que temos v = (1, 1) e u = (6, -6) , podemos expressar os vetores e :
Como estamos trabalhando em , . Portanto, .

Resposta

O vetor z = v + u = (1, 1) + (6, 5) = (7, 6) pode ser escrito como a soma de (elemento de ) e (elemento de ):

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7
Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(a) u=(3,5)
Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
© w=(pi, raiz2)
8
Dados os vetores x, y in R^2, determine escalares a, b in R não todos nulos tais que a x+b y=0.
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9
Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
(a) x=(2,3), y=(12,0)