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Dados os conjuntos e , escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de e outro de .
(a)
Passo 1
Vamos entender o problema! Temos dois conjuntos de vetores em :
: aqui, os vetores têm as duas componentes iguais.
: aqui, a soma das duas componentes é zero.
Queremos escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar usar essas definições e algumas operações básicas de álgebra modular.
Passo 2
Vamos chamar o vetor de de porque, em , as duas componentes são iguais.
E vamos chamar o vetor de de , onde (já que está em ).
Sabemos que , então:
Isso nos dá duas equações:
(para a primeira componente)
(para a segunda componente)
Passo 3
Temos também que (porque está em ). Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
a + b = 3 a + 10 = 3 a = 3 - 10 = -7 equiv 4 (mod 11)
Sabemos que , então . Substituindo na equação :
Para resolver em , multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 2 em , que é 6, porque :
Então, . Como , temos .
Agora, voltamos à primeira equação para encontrar :
Resposta
O vetor (3,5) = (4,4) + (10,1) pode ser escrito como a soma de e :