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Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(a) u=(3,5)

Passo 1

Vamos entender o problema! Temos dois conjuntos de vetores em :
  • : aqui, os vetores têm as duas componentes iguais.
  • : aqui, a soma das duas componentes é zero.
Queremos escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar usar essas definições e algumas operações básicas de álgebra modular.

Passo 2

Vamos chamar o vetor de (3,5) = (a + b, a + c) de porque, em , as duas componentes são iguais.
E vamos chamar o vetor de de , onde (já que está em ).
Sabemos que , então:
Isso nos dá duas equações:
  1. (para a primeira componente)
  2. (para a segunda componente)

Passo 3

Temos também que a + b = 3 a + c = 5 b + c = 0 (porque (a + c) - (a + b) = 5 - 3 c - b = 2 está em - b - b = 2 -2b = 2 2b = -2 (em Z11) ). Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
b = (-2) times 6 = -12 equiv -12 + 11 = -1 equiv 10 (mod 11)
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
a + b = 3 a + 10 = 3 a = 3 - 10 = -7 equiv 4 (mod 11)
Sabemos que , então . Substituindo na equação :
Para resolver em , multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 2 em , que é 6, porque :
Então, . Como , temos .
Agora, voltamos à primeira equação para encontrar :

Resposta

O vetor (3,5) = (4,4) + (10,1) pode ser escrito como a soma de e :

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© w=(pi, raiz2)
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