Dados dois vetores A=4,0 i+7,0 j e B=5,0 i+2,0 j, (a) calcule o módulo de cada vetor; (b) escreva uma expressão para a diferença vetorial A-B usando vetores unitários; © ache o módulo e a direção da diferença vetorial A-B; (d) faça um diagrama vetorial para A, B e A-B, e mostre que os resultados concordam aproximadamente com a resposta do item ©.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores, e . Nosso objetivo é:
a) Calcular o módulo de cada vetor;
b) Escrever a diferença vetorial usando vetores unitários;
c) Encontrar o módulo e a direção dessa diferença vetorial;
d) Fazer um diagrama vetorial e verificar se os resultados batem com o item ©.
Vamos precisar usar conceitos básicos de vetores, como módulo (ou comprimento), subtração de vetores e cálculo de direções usando trigonometria.

Passo 2

Item (a): Calcular o módulo de cada vetor
O módulo de um vetor |V| = raizVx^2 + Vy^2 é calculado usando o teorema de Pitágoras:
|A| = raiz4,0^2 + 7,0^2 = raiz16 + 49 = raiz65 approx 8,06
Vamos aplicar isso aos vetores |B| = raiz5,0^2 + 2,0^2 = raiz25 + 4 = raiz29 approx 5,39 e .
Para :
Para :

Passo 3

Item (b): Escrever a diferença vetorial A - B = (4,0 i + 7,0 j) - (5,0 i + 2,0 j) = (4,0 - 5,0) i + (7,0 - 2,0) j = -1,0 i + 5,0 j usando vetores unitários
A diferença vetorial é simplesmente a subtração componente a componente dos vetores. Vamos fazer isso:
A - B = -1,0 i + 5,0 j
Então, a expressão para a diferença vetorial é:

Passo 4

Item ©: Encontrar o módulo e a direção da diferença vetorial |A - B| = raiz(-1,0)^2 + 5,0^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,10
Primeiro, calculamos o módulo usando o mesmo método do item (a):
theta = tan^-1(VyVx)
Agora, para achar a direção, vamos calcular o ângulo que o vetor forma com o eixo theta = tan^-1(5,0-1,0) = tan^-1(-5) approx -78,69^circ (eixo x). Usamos a função tangente inversa:
theta = 180^circ - 78,69^circ = 101,31^circ
No nosso caso, e :
Como o é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Portanto, o ângulo real é:

Passo 5

Item (d): Fazer um diagrama vetorial para e , e verificar a concordância com o item ©
Embora eu não possa desenhar aqui, vou explicar como seria o diagrama:
  1. Desenhe partindo da origem com componentes e .
  2. Desenhe também partindo da origem com componentes e .
  3. Para , coloque a cauda de na ponta de . A diferença vetorial será o vetor que vai da origem até o final de .
Ao medir esse vetor no diagrama, deveríamos encontrar um módulo aproximado de e um ângulo de , confirmando nossos cálculos no item ©.

Resposta

a) e
b)
c) O módulo da diferença vetorial é aproximadamente e a direç��o é em relação ao eixo
d) O diagrama vetorial confirma que o módulo e a direção da diferença vetorial estão de acordo com os cálculos realizados no item ©

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