(valor: 1,0) Calcule a quantidade de movimento no instante 5 s de um corpo de massa igual a 3 kg que obedece a seguinte equação horária: x(t)=4+3 t+2 t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a quantidade de movimento (também conhecida como momento linear) de um corpo que tem uma massa de 3 kg no instante de 5 segundos. A equação que descreve a posição desse corpo ao longo do tempo é . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: a quantidade de movimento p = m cdot v é dada pela multiplicação da massa pela velocidade do objeto. Ou seja,
Então, para achar , precisamos descobrir a velocidade do corpo no instante de 5 segundos.

Passo 3

A velocidade x(t) = 4 + 3t + 2t^2 é a derivada da posição v(t) = 0 + 3 + 4t = 3 + 4t em relação ao tempo . Isso significa que vamos derivar a equação da posição para encontrar a velocidade.
Dado:
Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de 4 é 0 (porque é uma constante).
  • A derivada de é 3.
  • A derivada de é (usando a regra do poder: ).
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos calcular o valor dela no instante de 5 segundos substituindo v(5) = 3 + 4 times 5 = 3 + 20 = 23 m/s na equação:

Passo 5

Com a velocidade conhecida, podemos agora calcular a quantidade de movimento usando a fórmula p = 3 kg times 23 m/s = 69 kg cdot m/s :

Resposta

A quantidade de movimento no instante de 5 segundos é de .

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