Dados a esfera
e plano
, encontre o ponto
para o qual é máxima a distância
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação
e um plano dado por
. Queremos encontrar um ponto
que está na esfera que está mais longe desse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como a fórmula da distância de um ponto a um plano e propriedades de esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é
, onde
é o centro e
é o raio. Comparando com a equação dada:
Vemos que o centro
da esfera é
e o raio
é
.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto até um plano. A fórmula para a distância
de um ponto
até o plano
é:
No nosso caso, o plano é
. Então,
,
,
e
.
Passo 4
Queremos maximizar a distância entre um ponto
na esfera e o plano. Geometricamente, o ponto mais distante será aquele que está na direção oposta ao vetor normal do plano a partir do centro da esfera. O vetor normal do plano é o vetor formado pelos coeficientes de
,
e
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos calcular primeiro a distância do centro da esfera
até o plano usando a fórmula mencionada:
Passo 6
Sabemos que o ponto
mais distante do plano estará na direção do vetor normal
a partir do centro
, na mesma linha, mas a uma distância adicional igual ao raio da esfera. Portanto, a distância máxima será:
Passo 7
Para encontrar as coordenadas de
, vamos nos mover a partir do centro
na direção do vetor normal
. Primeiro, normalizamos o vetor normal para obter um vetor unitário
:
Passo 8
Multiplicamos o vetor unitário pelo raio para obter o deslocamento a partir do centro:
Passo 9
Finalmente, somamos esse deslocamento ao centro
para encontrar as coordenadas do ponto
:
Resposta
O ponto
na esfera que está a máxima distância do plano é
.