Dados a esfera S:(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25 e plano Pi: 3 x-4 z+19=0, encontre o ponto X in S para o qual é máxima a distância d(X, Pi).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação e um plano dado por . Queremos encontrar um ponto que está na esfera que está mais longe desse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como a fórmula da distância de um ponto a um plano e propriedades de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25 , onde é o centro e é o raio. Comparando com a equação dada:
Vemos que o centro da esfera é e o raio é .

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto até um plano. A fórmula para a distância d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto até o plano é:
No nosso caso, o plano é . Então, , , e .

Passo 4

Queremos maximizar a distância entre um ponto na esfera e o plano. Geometricamente, o ponto mais distante será aquele que está na direção oposta ao vetor normal do plano a partir do centro da esfera. O vetor normal do plano é o vetor formado pelos coeficientes de , e , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular primeiro a distância do centro da esfera dC = |3(1) + 0(-2) + (-4)(3) + 19|raiz3^2 + 0^2 + (-4)^2 = |3 + 0 - 12 + 19|raiz9 + 0 + 16 = |10|raiz25 = 105 = 2 até o plano usando a fórmula mencionada:

Passo 6

Sabemos que o ponto dmáx = dC + r = 2 + 5 = 7 mais distante do plano estará na direção do vetor normal a partir do centro , na mesma linha, mas a uma distância adicional igual ao raio da esfera. Portanto, a distância máxima será:
á

Passo 7

Para encontrar as coordenadas de u = n|n| = (3, 0, -4)5 = (35, 0, -45) , vamos nos mover a partir do centro na direção do vetor normal . Primeiro, normalizamos o vetor normal para obter um vetor unitário :

Passo 8

Multiplicamos o vetor unitário pelo raio para obter o deslocamento a partir do centro:
d = r cdot u = 5 cdot (35, 0, -45) = (3, 0, -4)

Passo 9

Finalmente, somamos esse deslocamento ao centro X = C + d = (1, -2, 3) + (3, 0, -4) = (1 + 3, -2 + 0, 3 - 4) = (4, -2, -1) para encontrar as coordenadas do ponto :

Resposta

O ponto na esfera que está a máxima distância do plano é .

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