Sejam e retas reversas, o plano que contém e é paralelo a o plano que passa por e é ortogonal a , e o plano que contém e é ortogonal ao plano .
Verifique que são reversas as retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas retas no espaço, e , definidas pelas suas equações paramétricas. O exercício quer que a gente mostre que essas duas retas são reversas, ou seja, que elas são não paralelas e não se intersectam. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica no espaço, usando vetores e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Esses vetores mostram a direção em que cada reta está apontando.
Para :
O vetor diretor de é .
Para :
O vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores delas são múltiplos um do outro.
Vamos ver se existe um escalar tal que:
Comparando os componentes:
Resolvendo a primeira equação:
-4 = 4 cdot 2 = 8
Verificando a segunda equação com :
Não é igual a , então não existe um que satisfaça todas as equações. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 4
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar se existe um par de valores de -7 + 3t = 21 + 6s -4 + 4t = -5 - 4s -3 - 2t = 2 - s e -7 + 3t = 21 + 6s Rightarrow 3t - 6s = 28 Rightarrow t - 2s = 283 (1) que satisfaçam:
-4 + 4t = -5 - 4s Rightarrow 4t + 4s = -1 Rightarrow t + s = -14 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações.
Da primeira equação:
-3 - 2t = 2 - s Rightarrow -2t + s = 5 (3)
Da segunda equação:
s = -14 - t
Da terceira equação:
-2t + ( -14 - t ) = 5
Agora, temos um sistema com as equações (1), (2) e (3). Vamos tentar resolver.
Da equação (2):
-2t - 14 - t = 5
Substituindo -3t = 5 + 14 na equação (3):
-3t = 214
t = -74
-74 + s = -14
s = 64 = 32
-74 - 2 cdot 32 = -74 - 3 = -194
Agora, substituindo 283 neq -194 na equação (2):
Agora, vamos verificar se esses valores de e satisfazem a equação (1):
Como não satisfaz, não existe um ponto comum às duas retas. Portanto, elas não se intersectam.
Resposta
Como as retas e não são paralelas e não se intersectam, elas são reversas.