Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada que é anti-simétrica e de ordem ímpar. Queremos provar que o determinante de , denotado por , é igual a zero. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de matrizes anti-simétricas e como o determinante se comporta nessas situações.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se ela satisfaz a condição:
onde é a transposta de . Isso significa que os elementos da matriz são refletidos na diagonal principal, mas com sinal invertido. Por exemplo, se é uma matriz 3x3, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante dos determinantes em relação às transposições e a multiplicação por escalar. Sabemos que:
det(A^T) = det(A)
E também, se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de A^T = -A por um escalar det(A^T) = det(-A) , o determinante de det(A) = det(-A) é multiplicado por . No caso da matriz anti-simétrica, temos que:
Portanto:
Como , podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando calculamos det(-A) = (-1)^n det(A) . Se a matriz é de ordem , então:
Isso porque multiplicar uma matriz por muda o sinal do determinante dependendo da ordem da matriz.
Passo 5
Voltando à nossa equação:
det(A) = det(-A) = (-1)^n det(A)
Subtraindo det(A) - (-1)^n det(A) = 0 de ambos os lados, temos:
det(A) [1 - (-1)^n] = 0
Passo 6
Agora, analisamos o termo 1 - (-1) = 2 . Se det(A) times 2 = 0 é ímpar, então det(A) = 0 , então:
Portanto, a equação fica:
E, consequentemente:
Resposta
Portanto, se é uma matriz anti-simétrica de ordem ímpar, então o determinante de é igual a zero, ou seja, .