Sejam
vetores de um espaço vetorial
. Provar que se cada vetor
de
admite uma única representação como combinação linear de
, então os vetores
formam uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores em um espaço vetorial
e quer provar que, se cada vetor no conjunto
pode ser escrito de forma única como uma combinação desses vetores
, então esses vetores formam uma base de
. Vamos usar conceitos de combinação linear, linearmente independente e base para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. É quando você multiplica cada vetor por um escalar e soma os resultados. Por exemplo, um vetor
em
pode ser escrito como:
onde
são escalares.
Passo 3
Agora, a questão diz que essa representação é única para cada
em
. Isso é importante porque quando a combinação linear é única, isso significa que os vetores
são linearmente independentes. Se não fossem, poderia haver mais de uma maneira de escrever
.
Passo 4
Vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação:
é
. Ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 5
Como sabemos que os vetores são linearmente independentes e que eles geram o espaço
(porque
é o conjunto das todas as combinações lineares desses vetores), então, por definição, eles formam uma base para
.
Resposta
Os vetores
formam uma base de
.