Sejam u1, ldots, un vetores de um espaço vetorial V. Provar que se cada vetor u de S=[u1, ldots, un] admite uma única representação como combinação linear de u1, ldots, un, então os vetores u1, ldots, un formam uma base de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores em um espaço vetorial e quer provar que, se cada vetor no conjunto pode ser escrito de forma única como uma combinação desses vetores , então esses vetores formam uma base de . Vamos usar conceitos de combinação linear, linearmente independente e base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. É quando você multiplica cada vetor por um escalar e soma os resultados. Por exemplo, um vetor v = a1u1 + a2u2 + ldots + anun em pode ser escrito como:
onde são escalares.

Passo 3

Agora, a questão diz que essa representação é única para cada em . Isso é importante porque quando a combinação linear é única, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Se não fossem, poderia haver mais de uma maneira de escrever .

Passo 4

Vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação:
a1u1 + a2u2 + ldots + anun = 0
é . Ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 5

Como sabemos que os vetores são linearmente independentes e que eles geram o espaço (porque é o conjunto das todas as combinações lineares desses vetores), então, por definição, eles formam uma base para .

Resposta

Os vetores formam uma base de .

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