Dados
e
, determine:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas funções definidas por partes,
e
, e pede para a gente descobrir os limites delas e do produto delas quando
se aproxima de 1, tanto pela esquerda (
) quanto pela direita (
). Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites laterais, ou seja, analisar o comportamento das funções conforme nos aproximamos de 1 por diferentes lados.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos encontrar
.
Como
está se aproximando de 1 pela esquerda (
), usamos a definição de
para
, que é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos para
.
Aqui,
está se aproximando de 1 pela direita (
), então usamos a definição de
para
, que é
. Assim:
Passo 4
Agora vamos calcular
.
Como
se aproxima de 1 pela esquerda (
), usamos a definição de
para
, que é
. Então:
Passo 5
Por último na parte (a), calculamos
.
Aqui,
está se aproximando de 1 pela direita (
), então usamos a definição de
para
, que é
. Assim:
Passo 6
Agora vamos para a parte (b). Primeiro, vamos encontrar
.
Como
se aproxima de 1 pela esquerda, usamos as definições de
e
para
:
Então:
Calculando o limite:
Passo 7
Depois, vamos calcular
.
Aqui,
se aproxima de 1 pela direita, então usamos as definições de
e
para
:
Então:
Calculando o limite:
Passo 8
Por fim, precisamos encontrar
.
Para que esse limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vimos que:
Como são iguais, o limite geral existe e é igual a 4.