Dados f(x)=cx^2+3, x <= 1 x+1, x>1 e g(x)=cx^2, x <= 1 2, x>1, determine:
(a) lim x 1^- f(x), lim x 1^+ f(x), lim x 1^- g(x), lim x 1^+ g(x);
(b) lim x 1^-(f(x) cdot g(x)), lim x 1^+(f(x) cdot g(x)), lim x 1(f(x) cdot g(x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas funções definidas por partes, e , e pede para a gente descobrir os limites delas e do produto delas quando se aproxima de 1, tanto pela esquerda ( ) quanto pela direita ( ). Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites laterais, ou seja, analisar o comportamento das funções conforme nos aproximamos de 1 por diferentes lados.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos encontrar limx 1^- f(x) = limx 1^- (x^2 + 3) = 1^2 + 3 = 4 .
Como está se aproximando de 1 pela esquerda ( ), usamos a definição de para , que é . Então:

Passo 3

Agora, vamos para limx 1^+ f(x) = limx 1^+ (x + 1) = 1 + 1 = 2 .
Aqui, está se aproximando de 1 pela direita ( ), então usamos a definição de para , que é . Assim:

Passo 4

Agora vamos calcular limx 1^- g(x) = limx 1^- x^2 = 1^2 = 1 .
Como se aproxima de 1 pela esquerda ( ), usamos a definição de para , que é . Então:

Passo 5

Por último na parte (a), calculamos limx 1^+ g(x) = limx 1^+ 2 = 2 .
Aqui, está se aproximando de 1 pela direita ( ), então usamos a definição de para , que é . Assim:

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). Primeiro, vamos encontrar f(x) = x^2 + 3 e g(x) = x^2 .
Como f(x) cdot g(x) = (x^2 + 3) cdot x^2 = x^4 + 3x^2 se aproxima de 1 pela esquerda, usamos as definições de limx 1^- (x^4 + 3x^2) = 1^4 + 3 cdot 1^2 = 1 + 3 = 4 e para :
Então:
Calculando o limite:

Passo 7

Depois, vamos calcular f(x) = x + 1 e g(x) = 2 .
Aqui, f(x) cdot g(x) = (x + 1) cdot 2 = 2x + 2 se aproxima de 1 pela direita, então usamos as definições de limx 1^+ (2x + 2) = 2 cdot 1 + 2 = 4 e para :
Então:
Calculando o limite:

Passo 8

Por fim, precisamos encontrar limx 1^- (f(x) cdot g(x)) = 4 e limx 1^+ (f(x) cdot g(x)) = 4 .
Para que esse limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vimos que:
Como são iguais, o limite geral existe e é igual a 4.

Resposta

(a) & limx 1^- f(x) = 4, limx 1^+ f(x) = 2, & limx 1^- g(x) = 1, limx 1^+ g(x) = 2; (b) & limx 1^- (f(x) cdot g(x)) = 4, limx 1^+ (f(x) cdot g(x)) = 4, & limx 1 (f(x) cdot g(x)) = 4

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