Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência $\left\{a_{n}\right\}$ é tal que $\lim a_{n}=L \in \mathbb{R}$, calcule os seguintes limites: (b) $\lim \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma sequência de números que converge para um limite . Ou seja, conforme aumenta, os termos se aproximam cada vez mais de . O que precisamos calcular é o limite da média dos primeiros termos dessa sequência, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de média aritmética de uma sequência que converge.

Passo 2

Sabemos que se uma sequência converge para , então a média de seus primeiros termos também tende a quando tende ao infinito. Isso é conhecido como o Teorema de Cesàro. Basicamente, se cada termo individual está se aproximando de , a média desses termos também vai se aproximar de .
Matematicamente, isso é representado por:

Resposta

O limite é .

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.717ex;” xmlns=“
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“25.454ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 11250.6 1083.9”><title>p(x) = x^2 - k x - 1 em Z[x]</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D45D” d=“M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 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<div>(a) Seja <span class="math-inline ">
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Dados e , determine:
(a) ;
(b) .