3^a Questão:

(a) Seja p(x) em R[x], com gr(p(x)) = 4. Prove que se alpha = a + b i em C é raiz de p(x), então α = a - b i também é raiz de p(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um polinômio com coeficientes reais e que o grau desse polinômio é 4 ( ). Além disso, sabemos que é uma raiz desse polinômio. Nosso objetivo é provar que a conjugada de , que é , também é uma raiz de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é uma raiz de , então substituindo na função temos:
Isso significa que quando a gente substitui por no polinômio, o resultado é zero.

Passo 3

Agora, vamos utilizar uma propriedade importante dos polinômios com coeficientes reais: se os coeficientes são reais e é uma raiz, então a sua conjugada também deve ser uma raiz. Mas por que isso acontece? Vamos entender melhor.

Passo 4

Como tem coeficientes reais, ao calcular o conjugado de , temos:
Por outro lado, podemos distribuir o conjugado dentro do polinômio:
Isso ocorre porque, ao ter coeficientes reais, o conjugado de cada termo do polinômio é igual ao termo com a conjugada de .

Passo 5

Então, juntando as duas igualdades que temos:
Isso mostra que também satisfaz a equação , ou seja, é uma raiz de .

Resposta

Portanto, se é uma raiz de , então sua conjugada também é uma raiz de .

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