(a) Seja , com . Prove que se é raiz de , então também é raiz de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um polinômio com coeficientes reais e que o grau desse polinômio é 4 (). Além disso, sabemos que é uma raiz desse polinômio. Nosso objetivo é provar que a conjugada de , que é , também é uma raiz de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se é uma raiz de , então substituindo na função temos:
Isso significa que quando a gente substitui por no polinômio, o resultado é zero.
Passo 3
Agora, vamos utilizar uma propriedade importante dos polinômios com coeficientes reais: se os coeficientes são reais e é uma raiz, então a sua conjugada também deve ser uma raiz. Mas por que isso acontece? Vamos entender melhor.
Passo 4
Como tem coeficientes reais, ao calcular o conjugado de , temos:
Por outro lado, podemos distribuir o conjugado dentro do polinômio:
Isso ocorre porque, ao ter coeficientes reais, o conjugado de cada termo do polinômio é igual ao termo com a conjugada de .
Passo 5
Então, juntando as duas igualdades que temos:
Isso mostra que também satisfaz a equação , ou seja, é uma raiz de .
Resposta
Portanto, se é uma raiz de , então sua conjugada também é uma raiz de .