Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
© a_n = 1/n^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que a sequência é limitada e monótona, além de descrever o tipo de monotonicidade. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sequências limitadas e monotônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos.
No caso da sequência :
  • Limite Inferior: Como é um número natural ( ), é sempre positivo, então também é positivo. Portanto, a sequência é sempre maior que 0.
  • Limite Superior: Para , temos . À medida que aumenta, diminui. Assim, o maior valor que a sequência alcança é 1.
Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é monótona, ou seja, se é crescente ou decrescente. Uma sequência é:
  • Crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior.
  • Decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior.
Para e , vamos comparar e :
Como , então , o que implica que . Ou seja, cada termo é menor que o anterior.
Portanto, a sequência é decrescente.

Resposta

A sequência é limitada entre 0 e 1 e é decrescente.

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