Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
©
©
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos que a sequência
é limitada e monótona, além de descrever o tipo de monotonicidade. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sequências limitadas e monotônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos.
No caso da sequência
:
-
Limite Inferior: Como
é um número natural ( ), é sempre positivo, então também é positivo. Portanto, a sequência é sempre maior que 0. -
Limite Superior: Para
, temos . À medida que aumenta, diminui. Assim, o maior valor que a sequência alcança é 1.
Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é monótona, ou seja, se é crescente ou decrescente. Uma sequência é:
- Crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior.
- Decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior.
Para
e
, vamos comparar
e
:
Como
, então
, o que implica que
. Ou seja, cada termo é menor que o anterior.
Portanto, a sequência é decrescente.
Resposta
A sequência
é limitada entre 0 e 1 e é decrescente.