Seia
um grupo abeliano. Prove que, End
é um anel com as operações definidas em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo abeliano
. Nosso objetivo é provar que o conjunto dos endomorfismos de
, denotado por
, com as operações de adição e multiplicação definidas, forma um anel. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente de estruturas de anéis e grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Um endomorfismo de
é uma função
que preserva a estrutura do grupo, ou seja, para todos
, temos:
Como
é um grupo abeliano, estamos lidando com endomorfismos que respeitam essa propriedade.
Passo 3
Agora, precisamos definir as operações de adição e multiplicação em
. A adição de dois endomorfismos
e
é definida ponto a ponto:
Já a multiplicação é a composição de funções:
Essas definições são fundamentais para verificar as propriedades de um anel.
Passo 4
Para que
seja um anel, precisamos verificar que:
-
é um grupo abeliano. - A multiplicação é associativa.
- A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos conferir cada uma dessas propriedades.
Passo 5
1.
é um grupo abeliano:
- Fechamento: A soma de dois endomorfismos
também é um endomorfismo, pois preserva a operação do grupo. - Associatividade: Para
, temos . - Elemento neutro: A função zero, definida por
para todo , é o elemento neutro. - Inversos: Para cada
, existe tal que . - Comutatividade:
para todos .
Portanto,
é um grupo abeliano.
Passo 6
2. A multiplicação é associativa:
Para
,
Isso ocorre porque a composição de funções é associativa.
Passo 7
3. A multiplicação distribui sobre a adição:
Para
,
e
Isso acontece porque a aplicação de
sobre a soma de
resulta na soma das aplicações individuais.
Passo 8
Além disso, existe um elemento identidade para a multiplicação em
, que é o endomorfismo identidade
, definido por
para todo
. Assim,
satisfaz todas as propriedades de um anel.
Resposta
Portanto, provamos que
, com as operações de adição e composição definidas, é de fato um anel.