Seia A,+ um grupo abeliano. Prove que, End (A),+, cdot é um anel com as operações definidas em (a) e (b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo abeliano (A, +). Nosso objetivo é provar que o conjunto dos endomorfismos de A, denotado por End(A), com as operações de adição e multiplicação definidas, forma um anel. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente de estruturas de anéis e grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é End(A). Um endomorfismo de A é uma função f: A to A que preserva a estrutura do grupo, ou seja, para todos a, b in A, temos:
f(a + b) = f(a) + f(b)
Como A é um grupo abeliano, estamos lidando com endomorfismos que respeitam essa propriedade.

Passo 3

Agora, precisamos definir as operações de adição e multiplicação em End(A). A adição de dois endomorfismos f e g é definida ponto a ponto:
(f + g)(a) = f(a) + g(a)
Já a multiplicação é a composição de funções:
(f cdot g)(a) = f(g(a))
Essas definições são fundamentais para verificar as propriedades de um anel.

Passo 4

Para que End(A) seja um anel, precisamos verificar que:
  1. (End(A), +) é um grupo abeliano.
  2. A multiplicação é associativa.
  3. A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos conferir cada uma dessas propriedades.

Passo 5

1. (End(A), +) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: A soma de dois endomorfismos f + g também é um endomorfismo, pois preserva a operação do grupo.
  • Associatividade: Para f, g, h in End(A), temos (f + g) + h = f + (g + h).
  • Elemento neutro: A função zero, definida por 0(a) = 0 para todo a in A, é o elemento neutro.
  • Inversos: Para cada f in End(A), existe -f tal que f + (-f) = 0.
  • Comutatividade: f + g = g + f para todos f, g in End(A).
Portanto, (End(A), +) é um grupo abeliano.

Passo 6

2. A multiplicação é associativa:
Para f, g, h in End(A),
(f cdot g) cdot h = f cdot (g cdot h)
Isso ocorre porque a composição de funções é associativa.

Passo 7

3. A multiplicação distribui sobre a adição:
Para f, g, h in End(A),
f cdot (g + h) = f cdot g + f cdot h
e
(g + h) cdot f = g cdot f + h cdot f
Isso acontece porque a aplicação de f sobre a soma de g(a) + h(a) resulta na soma das aplicações individuais.

Passo 8

Além disso, existe um elemento identidade para a multiplicação em End(A), que é o endomorfismo identidade id, definido por id(a) = a para todo a in A. Assim, (End(A), +, cdot) satisfaz todas as propriedades de um anel.

Resposta

Portanto, provamos que End(A), com as operações de adição e composição definidas, é de fato um anel.

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