Os dados históricos de uma rede de computadores sugerem que as conexões com essa rede, em horário normal, seguem uma distribuição de Poisson com média de cinco conexões por minuto. Calcule to, tal que se tenha probabilidade igual a 0,90 de que ocorra pelo menos uma conexão antes do tempo to.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma rede de computadores onde, em média, chegam 5 conexões por minuto. Isso segue uma distribuição de Poisson, que é uma maneira de modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo. A pergunta quer saber qual o tempo necessário para ter 90% de chance de que pelo menos uma conexão aconteça antes desse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição de Poisson, a probabilidade de ocorrer exatamente P(N(t) = k) = (lambda t)^k e^-lambda tk! eventos em um intervalo de tempo é dada por:
Aqui, conexões por minuto.

Passo 3

A questão quer a probabilidade de pelo menos uma conexão ocorrer antes de P(N(t0) >= 1) = 1 - P(N(t0) = 0) . Isso é igual a 1 menos a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer nesse tempo:
1 - P(N(t0) = 0) = 0,90
Queremos que isso seja igual a 0,90:

Passo 4

Vamos calcular P(N(t0) = 0) = (lambda t0)^0 e^-lambda t00! = e^-lambda t0 usando a fórmula de Poisson com 1 - e^-5 t0 = 0,90 :
Então, temos:

Passo 5

Isolando e^-5 t0 = 1 - 0,90 :
e^-5 t0 = 0,10

Passo 6

Para resolver para -5 t0 = ln(0,10) , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
t0 = -ln(0,10)5

Passo 7

Calculando o valor numérico:
ln(0,10) approx -2,302585
t0 = --2,3025855 = 2,3025855 approx 0,4605 minutos

Resposta

O tempo necessário para ter 90% de probabilidade de pelo menos uma conexão ocorrer é aproximadamente 0,4605 minutos.

Exercícios relacionados