A vida útil de certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de 10.000 horas? [sce]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a vida útil de um componente eletrônico que, em média, dura 10.000 horas e que segue uma distribuição exponencial. A gente vai precisar entender como funciona essa distribuição exponencial e como calcular a probabilidade de falha antes de 10.000 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o parâmetro da taxa, que é representado pela letra λ (lambda). Na distribuição exponencial, a média (μ) é igual a 1 dividido por λ. Como a média é 10.000 horas, temos:
lambda = 1mu = 110,000 = 0,0001 , horas^-1

Passo 3

Agora, para achar a porcentagem de componentes que falham antes de 10.000 horas, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial. A fórmula da CDF é:
P(X < x) = 1 - e^-lambda x
Substituindo os valores que temos:
P(X < 10,000) = 1 - e^-0,0001 times 10,000 = 1 - e^-1 approx 1 - 0,3679 = 0,6321

Resposta

Aproximadamente 63,2% dos componentes falharão em menos de 10.000 horas.

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