Na manufatura de fios de linha para costura ocorre, em média, um defeito a cada 100 metros de linha, segundo uma distribuição de Poisson.
a) Qual é a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros? [s들]
b) Quantos metros de linha poderão ser percorridos para que a probabilidade de aparecimento de algum defeito seja de 10 %? [i]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema na fabricação de fios de linha para costura onde, em média, aparece um defeito a cada 100 metros de linha. Esses defeitos seguem uma distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo ou no espaço. Para resolver as partes a) e b) desse exercício, vamos precisar entender como funciona essa distribuição e usar algumas fórmulas matemáticas básicas relacionadas a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo que esses eventos acontecem com uma taxa constante e de forma independente. No nosso caso, o “intervalo” é a quantidade de metros de linha, e o “evento” é o aparecimento de um defeito.

Passo 3

Para achar a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros (parte a), vamos usar a distribuição exponencial, que está relacionada à distribuição de Poisson. A distribuição exponencial nos dá a probabilidade de o tempo (ou, no nosso caso, a distância) até o próximo evento ser maior que um certo valor.
A fórmula para a distribuição exponencial é:
P(X > x) = e^-lambda x
Onde:
  • é a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após metros.
  • é a taxa média de ocorrência dos defeitos.
  • é a distância em metros.
No nosso caso, a taxa é 1 defeito a cada 100 metros, então .

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros usando a fórmula acima:
P(X > 120) = e^-1100 times 120 = e^-1.2
Usando uma calculadora, temos:
e^-1.2 approx 0.3012
Então, a probabilidade é de aproximadamente 30,12%.

Passo 5

Para a parte b), queremos saber quantos metros de linha podem ser percorridos para que a probabilidade de aparecer algum defeito seja de 10%. Ou seja, queremos encontrar P(X <= x) = 0.10 tal que:
P(X <= x) = 1 - e^-lambda x
Sabemos que:
1 - e^-1100 x = 0.10
Então, temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Reorganizando a equação:
e^-1100 x = 1 - 0.10 e^-1100 x = 0.90
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para resolver para -1100 x = ln(0.90) x = -100 times ln(0.90) :
ln(0.90) approx -0.10536 x = -100 times (-0.10536) x approx 10.536 metros
Calculando:

Resposta

a) A probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros é aproximadamente 30,12%.
b) Podem ser percorridos 10,54 metros de linha para que a probabilidade de aparecer algum defeito seja de 10%.

Exercícios relacionados