Na manufatura de fios de linha para costura ocorre, em média, um defeito a cada 100 metros de linha, segundo uma distribuição de Poisson.
a) Qual é a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros? [s들]
b) Quantos metros de linha poderão ser percorridos para que a probabilidade de aparecimento de algum defeito seja de
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a) Qual é a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros? [s들]
b) Quantos metros de linha poderão ser percorridos para que a probabilidade de aparecimento de algum defeito seja de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema na fabricação de fios de linha para costura onde, em média, aparece um defeito a cada 100 metros de linha. Esses defeitos seguem uma distribuição de Poisson, que é usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo ou no espaço. Para resolver as partes a) e b) desse exercício, vamos precisar entender como funciona essa distribuição e usar algumas fórmulas matemáticas básicas relacionadas a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sabendo que esses eventos acontecem com uma taxa constante e de forma independente. No nosso caso, o “intervalo” é a quantidade de metros de linha, e o “evento” é o aparecimento de um defeito.
Passo 3
Para achar a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros (parte a), vamos usar a distribuição exponencial, que está relacionada à distribuição de Poisson. A distribuição exponencial nos dá a probabilidade de o tempo (ou, no nosso caso, a distância) até o próximo evento ser maior que um certo valor.
A fórmula para a distribuição exponencial é:
Onde:
-
é a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após metros. -
é a taxa média de ocorrência dos defeitos. -
é a distância em metros.
No nosso caso, a taxa
é 1 defeito a cada 100 metros, então
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros usando a fórmula acima:
Usando uma calculadora, temos:
Então, a probabilidade é de aproximadamente 30,12%.
Passo 5
Para a parte b), queremos saber quantos metros de linha podem ser percorridos para que a probabilidade de aparecer algum defeito seja de 10%. Ou seja, queremos encontrar
tal que:
Sabemos que:
Então, temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Reorganizando a equação:
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para resolver para
:
Calculando:
Resposta
a) A probabilidade de o próximo defeito ocorrer após 120 metros é aproximadamente 30,12%.
b) Podem ser percorridos 10,54 metros de linha para que a probabilidade de aparecer algum defeito seja de 10%.