Um item é vendido em lotes de 200 unidades. Normalmente o processo de fabricação gera 5 % de itens defeituosos. Um comprador compra cada lote por R$ 100,00 (alternativa 1). Um outro comprador faz a seguinte proposta: de cada lote, ele escolhe uma amostra de 15 peças; se a amostra tem 0 defeituoso, ele paga 100,00 (a; 1 defeituoso, ele paga 200,00; mais que 1 defeituoso, ele paga R (alternativa 2). Em média, qual alternativa é mais vantajosa para o fabricante? (Calcule os valores esperados das duas alternativas.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem dois compradores interessados nos nossos lotes de 200 unidades, mas cada um tem uma proposta diferente. Tipo:
  1. Alternativa 1: Paga R$ 100,00 por lote, sem frescura.
  2. Alternativa 2: Paga R$ 200,00 se na amostra de 15 peças não tiver defeito, R$ 50,00 se tiver 1 defeituoso e R$ 5,00 se tiver mais de 1 defeituoso.
A parada aqui envolve probabilidade e valor esperado pra gente descobrir qual das alternativas é mais vantajosa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado para a Alternativa 1. Como é fixo, não tem nada a calcular:
Valor Esperado A

Passo 3

Agora, vamos para a Alternativa 2. Aqui, precisamos considerar as diferentes possibilidades na amostra de 15 peças e quanto o comprador vai pagar em cada caso. Para isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que ajuda a calcular a probabilidade de ter um certo número de sucessos (no caso, peças defeituosas) em uma amostra.
Primeiro, sabemos que a taxa de defeito é de 5%, ou seja, , e .

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para cada cenário:
  1. 0 defeituosos:
P(0) = binom150 (0,05)^0 (0,95)^15 = 1 times 1 times (0,95)^15 approx 0,4633
  1. 1 defeituoso:
P(1) = binom151 (0,05)^1 (0,95)^14 = 15 times 0,05 times (0,95)^14 approx 0,3651
  1. Mais de 1 defeituoso:
Como é “mais que 1”, podemos calcular P(mais de 1) = 1 - 0,4633 - 0,3651 approx 0,1716 :

Passo 5

Agora, vamos associar cada probabilidade ao pagamento correspondente e calcular o valor esperado da Alternativa 2:
Valor Esperado A
Substituindo os valores:
Valor Esperado A

Resposta

Comparando os valores esperados, a Alternativa 1 oferece R$ 100,00 por lote, enquanto a Alternativa 2 tem um valor esperado de aproximadamente R$ 111,78 por lote. Portanto, em média, a Alternativa 2 é mais vantajosa para o fabricante.

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