Um item é vendido em lotes de 200 unidades. Normalmente o processo de fabricação gera
de itens defeituosos. Um comprador compra cada lote por R$ 100,00 (alternativa 1). Um outro comprador faz a seguinte proposta: de cada lote, ele escolhe uma amostra de 15 peças; se a amostra tem 0 defeituoso, ele paga
; 1 defeituoso, ele paga
; mais que 1 defeituoso, ele paga
(alternativa 2). Em média, qual alternativa é mais vantajosa para o fabricante? (Calcule os valores esperados das duas alternativas.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem dois compradores interessados nos nossos lotes de 200 unidades, mas cada um tem uma proposta diferente. Tipo:
- Alternativa 1: Paga R$ 100,00 por lote, sem frescura.
- Alternativa 2: Paga R$ 200,00 se na amostra de 15 peças não tiver defeito, R$ 50,00 se tiver 1 defeituoso e R$ 5,00 se tiver mais de 1 defeituoso.
A parada aqui envolve probabilidade e valor esperado pra gente descobrir qual das alternativas é mais vantajosa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado para a Alternativa 1. Como é fixo, não tem nada a calcular:
Passo 3
Agora, vamos para a Alternativa 2. Aqui, precisamos considerar as diferentes possibilidades na amostra de 15 peças e quanto o comprador vai pagar em cada caso. Para isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que ajuda a calcular a probabilidade de ter um certo número de sucessos (no caso, peças defeituosas) em uma amostra.
Primeiro, sabemos que a taxa de defeito é de 5%, ou seja,
, e
.
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades para cada cenário:
- 0 defeituosos:
- 1 defeituoso:
- Mais de 1 defeituoso:
Como é “mais que 1”, podemos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos associar cada probabilidade ao pagamento correspondente e calcular o valor esperado da Alternativa 2:
Substituindo os valores:
Resposta
Comparando os valores esperados, a Alternativa 1 oferece R$ 100,00 por lote, enquanto a Alternativa 2 tem um valor esperado de aproximadamente R$ 111,78 por lote. Portanto, em média, a Alternativa 2 é mais vantajosa para o fabricante.