Defina matriz diagonalizável.

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é definir o que é uma matriz diagonalizável. Isso está relacionado a matrizes e álgebra linear. Para entender isso, vamos precisar falar sobre autovalores, autovetores e como uma matriz pode ser transformada em uma matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é considerada diagonalizável se ela puder ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Mas o que isso significa na prática?

Passo 3

Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os seus elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:

Passo 4

Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa ter n autovetores linearmente independentes, onde n é a dimensão da matriz. Esses autovetores formam as colunas da matriz de mudança de base .

Passo 5

A relação entre a matriz original , a matriz diagonal e a matriz de mudança de base é dada por:
Isso significa que, ao multiplicar pela matriz diagonal e depois por , a gente recupera a matriz original .

Passo 6

Portanto, para concluir, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível tal que , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de .

Resposta

Uma matriz diagonalizável é uma matriz quadrada que pode ser escrita na forma , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores linearmente independentes de . Isso significa que pode ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base.

Exercícios relacionados

Ao copiar, em seu caderno, um exercício sobre operações elementares entre matrizes, Luiza esqueceu-se de anotar a operação elementar que foi realizada em um determinado passo: 2abre colchetes tabela linha com 101 linha com 013 linha com 021 fim da tabela fecha colchetes espaço espaço semelhante espaço abre colchetes tabela linha com 101 linha com 013 linha com 0 0 célula com menos 5 fim da célula fim da tabela fecha colchetes
Assinale a alternativa que apresenta qual foi a operação elementar realizada sobre as linhas da primeira matriz para se obter a segunda matriz.
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Sejam e seja o subespaço gerado por . Determine a dimensão de em função de .
Dados n números naturais consecutivos, mostre que um e apenas um destes números é divisível por n .
Você conhece algum tipo de matriz que sempre será diagonalizável?