Defina matriz diagonalizável.

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é definir o que é uma matriz diagonalizável. Isso está relacionado a matrizes e álgebra linear. Para entender isso, vamos precisar falar sobre autovalores, autovetores e como uma matriz pode ser transformada em uma matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é considerada diagonalizável se ela puder ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Mas o que isso significa na prática?

Passo 3

Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os seus elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:
D = d1 & 0 & cdots & 0 0 & d2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dn

Passo 4

Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa ter n autovetores linearmente independentes, onde n é a dimensão da matriz. Esses autovetores formam as colunas da matriz de mudança de base .

Passo 5

A relação entre a matriz original A = P D P^-1 , a matriz diagonal e a matriz de mudança de base é dada por:
Isso significa que, ao multiplicar pela matriz diagonal e depois por , a gente recupera a matriz original .

Passo 6

Portanto, para concluir, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível tal que , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de .

Resposta

Uma matriz diagonalizável é uma matriz quadrada que pode ser escrita na forma , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores linearmente independentes de . Isso significa que pode ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base.

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