Então, o que a gente precisa aqui é definir o que é uma matriz diagonalizável. Isso está relacionado a matrizes e álgebra linear. Para entender isso, vamos precisar falar sobre autovalores, autovetores e como uma matriz pode ser transformada em uma matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é considerada diagonalizável se ela puder ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base. Mas o que isso significa na prática?
Passo 3
Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os seus elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:
Passo 4
Para que uma matriz seja diagonalizável, ela precisa ter n autovetores linearmente independentes, onde n é a dimensão da matriz. Esses autovetores formam as colunas da matriz de mudança de base .
Passo 5
A relação entre a matriz original , a matriz diagonal e a matriz de mudança de base é dada por:
Isso significa que, ao multiplicar pela matriz diagonal e depois por , a gente recupera a matriz original .
Passo 6
Portanto, para concluir, uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível tal que , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de .
Resposta
Uma matriz diagonalizável é uma matriz quadrada que pode ser escrita na forma , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores linearmente independentes de . Isso significa que pode ser transformada em uma matriz diagonal através de uma mudança de base.