Dados os números reais positivos
, a média geométrica
destes termos é calculada por:
A média geométrica de 1, 10, 100,
é:
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a média geométrica de uma sequência de números que começa em 1 e vai multiplicando por 10 até chegar em
. A média geométrica é um tipo de média que usamos especialmente quando os números estão em progressão geométrica, ou seja, cada termo é multiplicado por uma constante para chegar ao próximo. Para resolver isso, vamos precisar saber quantos termos tem essa sequência e aplicar a fórmula da média geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da sequência: 1, 10, 100, …,
. Observamos que cada termo é
, onde
começa em 0 e vai aumentando até 22. Portanto, os termos são
.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos termos existem na sequência. Como começamos em
e vamos até
, temos um total de
termos.
Passo 4
A média geométrica
de
termos é dada pela fórmula:
No nosso caso, os termos são potências de 10, então a multiplicação deles será:
Passo 5
Vamos simplificar a multiplicação dos termos:
A soma dos expoentes de uma progressão aritmética pode ser calculada pela fórmula:
Aqui,
,
e
, então:
Portanto:
Resposta
A média geométrica é
. Alternativa A)