Dados os números reais positivos a1, a2, ldots, an, a média geométrica M destes termos é calculada por:
M= ^n raiza1 ldots an
A média geométrica de 1, 10, 100, ldots, 1022 é:
A) 10^11.
B) 10^12.
C) 10^13.
D) 10^14.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a média geométrica de uma sequência de números que começa em 1 e vai multiplicando por 10 até chegar em . A média geométrica é um tipo de média que usamos especialmente quando os números estão em progressão geométrica, ou seja, cada termo é multiplicado por uma constante para chegar ao próximo. Para resolver isso, vamos precisar saber quantos termos tem essa sequência e aplicar a fórmula da média geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da sequência: 1, 10, 100, …, . Observamos que cada termo é , onde começa em 0 e vai aumentando até 22. Portanto, os termos são .

Passo 3

Agora, vamos contar quantos termos existem na sequência. Como começamos em e vamos até , temos um total de termos.

Passo 4

A média geométrica M = raiz[n]a1 times a2 times ldots times an de M = raiz[23]10^0 times 10^1 times 10^2 times ldots times 10^22 termos é dada pela fórmula:
No nosso caso, os termos são potências de 10, então a multiplicação deles será:

Passo 5

Vamos simplificar a multiplicação dos termos:
10^0 times 10^1 times 10^2 times ldots times 10^22 = 10^0+1+2+ldots+22
A soma dos expoentes de uma progressão aritmética pode ser calculada pela fórmula:
S = n(a1 + an)2
Aqui, S = 23(0 + 22)2 = 23 times 222 = 253 , M = raiz[23]10^253 = 10^25323 = 10^11 e , então:
Portanto:

Resposta

A média geométrica é . Alternativa A)

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