O volume do tetraedro de vértices O(0, 0, 0), A(6, 0, 0), B(0, 6, 0) e C(0, 0, 6) é:
A) 26
B) 56
C) 36
D) 66
E) 46
A) 26
B) 56
C) 36
D) 66
E) 46
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o volume de um tetraedro que tem quatro vértices: O(0, 0, 0), A(6, 0, 0), B(0, 6, 0) e C(0, 0, 6). Vamos precisar usar a fórmula do volume para um tetraedro no espaço, que envolve vetores. A matéria que vamos utilizar é Álgebra Linear, especificamente o produto misto de vetores para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume $ V $ de um tetraedro formado por quatro pontos $ O $, $ A $, $ B $ e $ C $ pode ser calculado usando o produto misto dos vetores $ \vec{OA} $, $ \vec{OB} $ e $ \vec{OC} $. A fórmula é:
Passo 3
Vamos encontrar os vetores $ \vec{OA} $, $ \vec{OB} $ e $ \vec{OC} $. Já que $ O $ é a origem, os vetores são simplesmente as coordenadas dos pontos $ A $, $ B $ e $ C $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{OB} \times \vec{OC} $. O produto vetorial de dois vetores $ (a, b, c) $ e $ (d, e, f) $ é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o produto escalar $ \vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) $. O produto escalar de dois vetores $ (a, b, c) $ e $ (d, e, f) $ é:
Para os nossos vetores:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Resposta
A alternativa correta é a letra C) 36.