Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos C e D de modo que os pontos A, B e C sejam colineares e D pertença ao plano piX Y.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o ponto e o vetor . Precisamos encontrar dois pontos:
Ponto : Deve estar na mesma reta que os pontos e , ou seja, , e são colineares.
Ponto : Deve pertencer ao plano , que é o plano onde a coordenada é sempre zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, parametrização de retas e equações de planos.
Passo 2
Vamos encontrar o ponto B = A + u = (1+1, , 1+2, , 1+3) = (2,, 3,, 4) . Sabemos que . Isso significa que:
Então, .
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ponto r(t) = A + t cdot u = (1 + t, , 1 + 2t, , 1 + 3t) que está na mesma reta que e . Para isso, vamos usar a parametrização da reta que passa por e .
A equação paramétrica dessa reta é:
Aqui, é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.
Passo 4
Para encontrar um ponto específico C = r(2) = (1 + 2, , 1 + 2 times 2, , 1 + 3 times 2) = (3, , 5, , 7) na reta, escolhemos um valor para . Vamos escolher :
Portanto, .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ponto D = (1, 1, 0) que pertence ao plano . No plano , a coordenada é sempre zero. Então, tem a forma .
Podemos escolher qualquer valor para e . Por exemplo, se escolhermos e :