Dados o ponto A=(1,1,1) e o vetor u=A B=(1,2,3), obtenha os pontos C e D de modo que os pontos A, B e C sejam colineares e D pertença ao plano piX Y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o ponto e o vetor . Precisamos encontrar dois pontos:
  1. Ponto : Deve estar na mesma reta que os pontos e , ou seja, , e são colineares.
  2. Ponto : Deve pertencer ao plano , que é o plano onde a coordenada é sempre zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, parametrização de retas e equações de planos.

Passo 2

Vamos encontrar o ponto B = A + u = (1+1, , 1+2, , 1+3) = (2,, 3,, 4) . Sabemos que . Isso significa que:
Então, .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto r(t) = A + t cdot u = (1 + t, , 1 + 2t, , 1 + 3t) que está na mesma reta que e . Para isso, vamos usar a parametrização da reta que passa por e .
A equação paramétrica dessa reta é:
Aqui, é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Para encontrar um ponto específico C = r(2) = (1 + 2, , 1 + 2 times 2, , 1 + 3 times 2) = (3, , 5, , 7) na reta, escolhemos um valor para . Vamos escolher :
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto D = (1, 1, 0) que pertence ao plano . No plano , a coordenada é sempre zero. Então, tem a forma .
Podemos escolher qualquer valor para e . Por exemplo, se escolhermos e :

Resposta

Os pontos solicitados são:
  • que pertence ao plano .

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