Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares e pertença ao plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o ponto e o vetor . Precisamos encontrar dois pontos:
  1. Ponto : Deve estar na mesma reta que os pontos e , ou seja, , e são colineares.
  2. Ponto : Deve pertencer ao plano , que é o plano onde a coordenada é sempre zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, parametrização de retas e equações de planos.

Passo 2

Vamos encontrar o ponto . Sabemos que . Isso significa que:
Então, .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto que está na mesma reta que e . Para isso, vamos usar a parametrização da reta que passa por e .
A equação paramétrica dessa reta é:
Aqui, é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Para encontrar um ponto específico na reta, escolhemos um valor para . Vamos escolher :
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto que pertence ao plano . No plano , a coordenada é sempre zero. Então, tem a forma .
Podemos escolher qualquer valor para e . Por exemplo, se escolhermos e :

Resposta

Os pontos solicitados são:
  • que pertence ao plano .

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Seja o operador linear do cuja matriz em relação à base canônica é . Determine uma base da imagem de e uma base do núcleo de .
Determine as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às base canônicas dos respectivos espaços:
(b) Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?
Considere a base do . Determine a base dual de .