(b) Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear em relação à base ordenada . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como atua nos vetores da base e expressar os resultados em termos dessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de em relação à base , precisamos aplicar a cada vetor da base e depois expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos denotar os vetores da base como:
Então, aplicamos a cada :

Passo 4

Depois de calcular , e , precisamos expressar cada um deles como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontramos escalares tais que:

Passo 5

Os coeficientes formam a matriz de na base . Portanto, a matriz de em relação à base será:

Resposta

A matriz da transformação linear em relação à base ordenada é:
onde os coeficientes são determinados expressando como combinação linear dos vetores da base .

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Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares e pertença ao plano .
Seja o operador linear do cuja matriz em relação à base canônica é . Determine uma base da imagem de e uma base do núcleo de .
Considere a base do . Determine a base dual de .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
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