(b) Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear em relação à base ordenada . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como atua nos vetores da base e expressar os resultados em termos dessa mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de em relação à base , precisamos aplicar a cada vetor da base e depois expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos denotar os vetores da base como:
Então, aplicamos a cada :
Passo 4
Depois de calcular , e , precisamos expressar cada um deles como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontramos escalares tais que:
Passo 5
Os coeficientes formam a matriz de na base . Portanto, a matriz de em relação à base será:
Resposta
A matriz da transformação linear em relação à base ordenada é:
onde os coeficientes são determinados expressando como combinação linear dos vetores da base .