(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada B=(1,0,1),(-1,2,1),(2,1,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear em relação à base ordenada . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como atua nos vetores da base e expressar os resultados em termos dessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de em relação à base , precisamos aplicar a cada vetor da base e depois expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos denotar os vetores da base B = v1 = (1,0,1), v2 = (-1,2,1), v3 = (2,1,1) como:
F(v1), F(v2), F(v3)
Então, aplicamos a cada :

Passo 4

Depois de calcular F(vj) = a1j v1 + a2j v2 + a3j v3 para j = 1,2,3 , e , precisamos expressar cada um deles como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontramos escalares tais que:

Passo 5

Os coeficientes [F]B = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 formam a matriz de na base . Portanto, a matriz de em relação à base será:

Resposta

A matriz da transformação linear [F]B = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 em relação à base ordenada é:
onde os coeficientes são determinados expressando como combinação linear dos vetores da base .

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