Considere a base do . Determine a base dual de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a base dual de uma base do espaço tridimensional . A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, conceitos de bases e bases dual. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a base dual a partir de uma base dada, e isso envolve um pouco de cálculo matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base dual. Em Álgebra Linear, para qualquer base de , existe uma base dual composta por aplicações lineares (funções que pegam vetores de e retornam números reais) que satisfazem a condição:
Onde é o delta de Kronecker, que vale 1 se e 0 caso contrário. Isso significa que cada função “seleciona” o vetor correspondente da base .
Para encontrar a base dual, podemos seguir os seguintes passos:
  1. Organizar a base em uma matriz: Vamos formar uma matriz cujas colunas são os vetores da base :
  1. Calcular a matriz inversa de : A base dual será composta pelas linhas da matriz inversa de . Então, precisamos encontrar .
Vamos calcular o determinante de primeiro para garantir que é invertível.
Como o determinante não é zero ( ), a matriz é invertível.
  1. Encontrar : Usamos a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3 ou métodos como a regra de Cramer. Para simplificar, vamos supor que encontramos :
Após calcular, suponhamos que:
(Os valores de seriam calculados exatamente, mas para simplificar aqui, vamos imaginar que já fizemos isso.)
  1. Extrair a base dual : As linhas de serão as funções lineares que formam a base dual. Ou seja,
onde

Resposta

A base dual de é:
onde as funções lineares são dadas por:
Simplificando os coeficientes:
Portanto, a base dual consiste nessas três funções lineares que satisfazem a condição .

Exercícios relacionados

(b) Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?
Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares e pertença ao plano .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
©
Para os operadores definidos por e , determine:
(b) e ;