Seja F o operador linear do R^3 cuja matriz em relação à base canônica é [ccc1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4]. Determine uma base da imagem de F e uma base do núcleo de F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4 no cuja matriz em relação à base canônica é:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de e outra base para o núcleo de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagens (ou espaço coluna) e núcleos (ou kernel) de transformações lineares. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a imagem de A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4 . A imagem de um operador linear é basicamente o conjunto de todos os vetores que você consegue obter aplicando a qualquer vetor de . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz de são linearmente independentes.
Então, olhemos para a matriz:
Vamos fazer algumas operações para ver quais colunas não são múltiplos umas das outras.
Primeiro, podemos deixar a matriz em forma escalonada, ou seja, arrumar de forma que cada linha comece com um 1 (pivo) e os zeros fiquem abaixo desse 1.
  1. A primeira coluna já começa com 1 na primeira linha.
  2. A segunda coluna tem 1 na segunda linha, ótimo.
  3. A terceira coluna podemos ver se ela é combinação das duas primeiras.
Fazendo isso, percebemos que a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação linear das duas primeiras. Portanto, as primeiras duas colunas são suficientes para gerar a imagem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de A v = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x y z em 1x + 2y + 1z = 0 0x + 1y + 1z = 0 -1x + 3y + 4z = 0 que satisfazem - z + 3(-z) + 4z = -z -3z +4z = 0 .
Para encontrar isso, vamos resolver a equação:
v = z 1 -1 1
Onde .
Escrevendo o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação: =>
Substituindo em primeira equação: =>
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, tudo deu certo e temos que e . Podemos representar o núcleo como:

Resposta

Uma base para a imagem de , 1 0 -1 , 2 1 3 , é formada pelas duas primeiras colunas da matriz:
, 1 -1 1 ,
E uma base para o núcleo de é:

Exercícios relacionados