Seja o operador linear do cuja matriz em relação à base canônica é . Determine uma base da imagem de e uma base do núcleo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear no cuja matriz em relação à base canônica é:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de e outra base para o núcleo de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagens (ou espaço coluna) e núcleos (ou kernel) de transformações lineares. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a imagem de . A imagem de um operador linear é basicamente o conjunto de todos os vetores que você consegue obter aplicando a qualquer vetor de . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz de são linearmente independentes.
Então, olhemos para a matriz:
Vamos fazer algumas operações para ver quais colunas não são múltiplos umas das outras.
Primeiro, podemos deixar a matriz em forma escalonada, ou seja, arrumar de forma que cada linha comece com um 1 (pivo) e os zeros fiquem abaixo desse 1.
  1. A primeira coluna já começa com 1 na primeira linha.
  2. A segunda coluna tem 1 na segunda linha, ótimo.
  3. A terceira coluna podemos ver se ela é combinação das duas primeiras.
Fazendo isso, percebemos que a terceira coluna pode ser escrita como uma combinação linear das duas primeiras. Portanto, as primeiras duas colunas são suficientes para gerar a imagem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Para encontrar isso, vamos resolver a equação:
Onde .
Escrevendo o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação: =>
Substituindo em primeira equação: =>
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, tudo deu certo e temos que e . Podemos representar o núcleo como:

Resposta

Uma base para a imagem de é formada pelas duas primeiras colunas da matriz:
E uma base para o núcleo de é:

Exercícios relacionados

Determine as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às base canônicas dos respectivos espaços:
Mostre que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC , cujos vértices são , é dado por
Dados o ponto e o vetor , obtenha os pontos e de modo que os pontos e sejam colineares e pertença ao plano .
(b) Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?