Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que D C=B A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve geometria analítica e vetores. Temos três pontos no plano: , e . A gente precisa encontrar o ponto de modo que o vetor seja igual ao vetor . Para isso, vamos precisar saber como calcular vetores a partir de pontos e igualar suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor BA = (Ax - Bx, Ay - By) = (-1 - 1, 3 - 0) = (-2, 3) . Esse vetor vai do ponto até o ponto . Para encontrar as componentes dele, subtraímos as coordenadas de das de :
Então, .

Passo 3

Agora, queremos que DC = (Cx - Dx, Cy - Dy) = (2 - x, -1 - y) . Ou seja, o vetor que vai de 2 - x = -2 e -1 - y = 3 até deve ser igual a . Vamos chamar as coordenadas de de .
O vetor é dado por:
Queremos que isso seja igual a , então temos:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar -x = -2 - 2 -x = -4 x = 4 e -y = 3 + 1 -y = 4 y = -4 :

Resposta

O ponto que satisfaz é .

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