Encontre o vértice oposto a B no paralelogramo A B C D para
(a) A(-1,0,3), B(1,1,2) e C(3,-2,5)

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos o vértice oposto a no paralelogramo . Estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional, e para isso, vamos precisar entender as propriedades dos paralelogramos e como aplicar coordenadas de pontos para descobrir a posição do vértice faltante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante dos paralelogramos: os lados opostos são iguais e paralelos. Isso significa que o vetor que vai de AB = DC para ( ) é igual ao vetor que vai de para ( ). Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB = B - A = (1 - (-1), 1 - 0, 2 - 3) = (2, 1, -1) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 4

Sabendo que DC = C - D = (3, -2, 5) - D , podemos usar isso para encontrar o ponto (2, 1, -1) = (3 - Dx, -2 - Dy, 5 - Dz) . Sabemos as coordenadas de , então:
Como , temos:

Passo 5

Agora, igualamos as componentes correspondentes para encontrar as coordenadas de 2 = 3 - Dx 1 = -2 - Dy -1 = 5 - Dz :

Passo 6

Resolvendo cada uma dessas equações:
Para 2 = 3 - Dx implies Dx = 3 - 2 = 1 :
1 = -2 - Dy implies Dy = -2 - 1 = -3
Para -1 = 5 - Dz implies Dz = 5 + 1 = 6 :
Para :

Resposta

Portanto, o vértice oposto a no paralelogramo tem as coordenadas .

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