Dados os vetores u=(2,3,-1), v=(1,-1,1) e w=(-3,4,0) :
encontrar escalares a, b e c, tais que a u+b v+c w=(-2,13,-5).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
u = (2, 3, -1), v = (1, -1, 1), w = (-3, 4, 0)
Queremos encontrar os escalares a u + b v + c w = (-2, 13, -5) , e de forma que:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações lineares e montar um sistema de equações.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear em termos das componentes de cada vetor:
a(2, 3, -1) + b(1, -1, 1) + c(-3, 4, 0) = (-2, 13, -5)
Isso nos dá três equações correspondentes a cada componente:
  1. Componente 2a + 1b - 3c = -2 :
    3a - 1b + 4c = 13
  2. Componente -1a + 1b + 0c = -5 :
  3. Componente :

Passo 3

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
2a + b - 3c = -2 3a - b + 4c = 13 -a + b = -5
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Começamos resolvendo a terceira equação para -a + b = -5 :
b = a - 5
Isolando :

Passo 5

Substituímos 2a + (a - 5) - 3c = -2 nas duas primeiras equações:
  1. Primeira equação:
    3a - 5 - 3c = -2 implies 3a - 3c = 3 implies a - c = 1
    Simplificando:
    3a - (a - 5) + 4c = 13
  2. Segunda equação:
    2a + 5 + 4c = 13 implies 2a + 4c = 8 implies a + 2c = 4
    Simplificando:

Passo 6

Agora temos um sistema reduzido com duas equações:
a - c = 1 a + 2c = 4
Vamos resolver esse sistema. Subtraímos a primeira equação da segunda:
(a + 2c) - (a - c) = 4 - 1 implies 3c = 3 implies c = 1

Passo 7

Com a - 1 = 1 implies a = 2 , usamos a primeira equação para encontrar :

Passo 8

Agora, com b = 2 - 5 = -3 , encontramos usando :

Resposta

Os escalares são , e .

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