Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para que |v|=7, sendo v=m AC+BC

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três pontos no espaço: A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0). Precisamos encontrar o valor de m de forma que o vetor v = m AC + BC tenha módulo igual a 7. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, como calcular vetores entre pontos e encontrar o módulo de um vetor.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores AC e BC. Para encontrar AC, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de C:
AC = C - A = (1-1, 2-0, 0-(-1)) = (0, 2, 1)

Passo 3

Agora, calculamos o vetor BC subtraindo as coordenadas de B das coordenadas de C:
BC = C - B = (1-4, 2-2, 0-1) = (-3, 0, -1)

Passo 4

Com esses vetores, podemos expressar v em termos de m:
v = m AC + BC = m(0, 2, 1) + (-3, 0, -1) = (0 cdot m - 3, 2m + 0, m - 1)
Simplificando:
v = (-3, 2m, m - 1)

Passo 5

O próximo passo é encontrar o módulo de v e igualá-lo a 7. O módulo de um vetor (x, y, z) é dado por:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz(-3)^2 + (2m)^2 + (m - 1)^2 = raiz9 + 4m^2 + m^2 - 2m + 1 = raiz5m^2 - 2m + 10
Igualando a 7:
raiz5m^2 - 2m + 10 = 7

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
5m^2 - 2m + 10 = 49
Simplificando:
5m^2 - 2m - 39 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0. Vamos resolver para m usando a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 5, b = -2 e c = -39.

Passo 8

Calculando o discriminante ( De):
De
Como De 0, teremos duas soluções reais distintas.

Passo 9

Aplicando na fórmula:
m = 2 pm raiz78410 = 2 pm 2810
Isso nos dá duas possibilidades:
m1 = 2 + 2810 = 3010 = 3
m2 = 2 - 2810 = -2610 = -2,6

Resposta

Os valores de m que satisfazem a condição são m = 3 e m = -2,6.

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