A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada por C(3,-1,-1) e D(0, m, n). Determinar o ponto D .
Resposta: D(0,1,0)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica que envolve retas no espaço. Precisamos encontrar as coordenadas do ponto D, sabendo que a reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta que passa por C(3, -1, -1) e D(0, m, n). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e condições de paralelismo entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta AB. O vetor diretor é obtido subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B.
AB = B - A = (1 - (-2), 3 - 5, 0 - 1) = (3, -2, -1)

Passo 3

Agora, vamos considerar a reta CD. Queremos que a reta CD seja paralela à reta AB, então o vetor diretor de CD deve ser múltiplo do vetor diretor de AB. Vamos expressar o vetor CD em termos de C e D.
CD = D - C = (0 - 3, m - (-1), n - (-1)) = (-3, m + 1, n + 1)

Passo 4

Como as retas são paralelas, os vetores diretores devem ser proporcionais. Ou seja, existe um número real CD = k cdot AB tal que:
(-3, m + 1, n + 1) = k cdot (3, -2, -1)
Então, podemos escrever:
-3 = 3k m + 1 = -2k n + 1 = -k
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar o valor de -3 = 3k Rightarrow k = -1 , m + 1 = -2(-1) Rightarrow m + 1 = 2 Rightarrow m = 1 e n + 1 = -(-1) Rightarrow n + 1 = 1 Rightarrow n = 0 .
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:

Resposta

O ponto D tem coordenadas .

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