Dados os pontos a-C- , determine as coordenadas de um ponto D de modo que os pontos e D sejam coplanares e o vetor seja ortogonàl ao vetor A B.
R=(x, 2 x+4,0)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Precisamos encontrar as coordenadas de um quarto ponto de forma que:
Os pontos , , e estejam todos no mesmo plano (coplanares).
O vetor seja perpendicular (ortogonal) ao vetor .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria vetorial, como vetores, ortogonalidade e coplanaridade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = B - A = (1 - 1, 2 - 2, 3 - 0) = (0, 0, 3) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
O vetor AD = (x - 1, y - 2, z - 0) = (x - 1, y - 2, z) deve ser perpendicular a (x - 1) cdot 0 + (y - 2) cdot 0 + z cdot 3 = 0 . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos chamar as coordenadas de 3z = 0 implies z = 0 de . Então:
O produto escalar deve ser zero:
Simplificando:
Então, o ponto terá .
Passo 4
Agora, precisamos garantir que os pontos AC = C - A = (-1 - 1, -2 - 2, 2 - 0) = (-2, -4, 2) , AD = s cdot AB + t cdot AC , (x - 1, y - 2, 0) = s cdot (0, 0, 3) + t cdot (-2, -4, 2) = (-2t, -4t, 3s + 2t) e x - 1 = -2t y - 2 = -4t 0 = 3s + 2t sejam coplanares. Para isso, podemos usar o fato de que quatro pontos são coplanares se o vetor estiver no espaço formado pelos vetores e .
Primeiro, encontramos :
Então, a condição de coplanaridade é que exista uma combinação linear de e que resulte em :
Substituindo os vetores:
Igualando as componentes:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
A partir da segunda equação, já temos a relação entre e .
Passo 6
Não precisamos determinar D = (x, 2x, 0) e especificamente para encontrar as coordenadas de . Já sabemos que e que . Portanto, podemos expressar como:
Resposta
As coordenadas do ponto são , onde pode ser qualquer valor real.