Sejam e A C=j+3 k. Calcule a área do triângulo OABC. R=raiz192
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a área do triângulo OABC, onde temos dois vetores dados:
AB = -i + j
AC = j + 3k
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria espacial. Precisaremos conhecer como calcular a área de um triângulo definido por dois vetores no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam o triângulo OABC. Aqui, O é a origem, e os pontos A, B e C estão definidos pelos vetores OA, OB e OC.
Sabemos que AB = OB - OA e AC = OC - OA. Como já temos AB e AC, podemos considerar OA como nosso ponto de referência.
Passo 3
Para encontrar a área do triângulo OABC, podemos usar a fórmula do produto vetorial. A área de um triângulo formado por dois vetores u e v é dada por:
Área = 12 |u times v| Á
Aqui, times representa o produto vetorial, e |cdot| indica o módulo (ou comprimento) do vetor resultante.
Passo 4
Vamos identificar os vetores u e v que formam o triângulo. Neste caso, podemos considerar AB e AC como esses vetores:
u = AB = -i + j
v = AC = j + 3k
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k -1 & 1 & 0 0 & 1 & 3
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 3 - 0 cdot 1) - j(-1 cdot 3 - 0 cdot 0) + k(-1 cdot 1 - 1 cdot 0)
Simplificando:
u times v = 3i + 3j -1k
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante: