Responda Falso ou Verdadeiro, Justificando sua resposta.
e) Seja uma matriz . Suponha que é solução do sistema homogêneo A X=0. Logo, este sistema é possível determinado.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz 1 1 1 de tamanho e diz que o vetor é solução do sistema homogêneo . A pergunta quer saber se, com base nisso, podemos concluir que esse sistema é possível determinado. Para resolver, vamos precisar entender sobre sistemas lineares, matrizes e soluções desses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sistema homogêneo. Um sistema homogêneo é aquele em que todas as constantes independentes são zero, ou seja, tem a forma . Esse tipo de sistema sempre tem pelo menos a solução trivial, que é . Se existir outra solução além da trivial, dizemos que o sistema tem soluções não triviais.
Passo 3
No nosso caso, o vetor 1 1 1 é uma solução não trivial do sistema . Isso significa que a matriz não é invertível, ou seja, seu determinante é zero. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada de singular e não tem uma única solução para o sistema.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre sistemas determinados e indeterminados. Um sistema é determinado quando possui uma única solução. Já um sistema é indeterminado quando possui infinitas soluções. No caso de um sistema homogêneo com uma solução não trivial, como o nosso, o sistema é indeterminado, pois existem infinitas combinações que satisfazem .
Passo 5
Portanto, como o sistema possui mais de uma solução (não é apenas a trivial), ele não é determinado. Isso significa que a afirmação do enunciado está incorreta.
Resposta
Falso. O sistema homogêneo possui soluções não triviais, o que indica que ele é indeterminado, não determinado.