Seja é uma matriz de ordem . Mostre que se , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de ordem que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que o inverso de , ou seja, , é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e equações matriciais, para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a equação que foi dada:
Isso significa que quando a gente combina ao quadrado, menos três vezes , mais a matriz identidade , o resultado é a matriz nula.
Passo 3
O que queremos é encontrar , a matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Para isso, vamos manipular a equação original para isolar .
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Agora, fatorando dos dois primeiros termos:
Isso nos mostra uma relação direta entre , e .
Passo 5
Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Agora, se a gente multiplicar ambos os lados por , temos: