Seja A é uma matriz de ordem n. Mostre que se A^2-3 A+In=0, então A^-1=3 In-A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de ordem que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que o inverso de , ou seja, , é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e equações matriciais, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a equação que foi dada:
A^2 - 3A + In = 0
Isso significa que quando a gente combina ao quadrado, menos três vezes , mais a matriz identidade , o resultado é a matriz nula.

Passo 3

O que queremos é encontrar , a matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Para isso, vamos manipular a equação original para isolar .

Passo 4

Vamos reorganizar a equação:
A^2 - 3A = -In
Agora, fatorando A(A - 3In) = -In dos dois primeiros termos:
Isso nos mostra uma relação direta entre , e .

Passo 5

Para isolar -A(A - 3In) = In , vamos multiplicar ambos os lados da equação por A^-1 cdot (-A)(A - 3In) = A^-1 cdot In :
-(A - 3In) = A^-1
Agora, se a gente multiplicar ambos os lados por , temos:
Simplificando, lembrando que :

Passo 6

Finalmente, tirando o sinal negativo:
A^-1 = 3In - A
E assim, mostramos que o inverso de é realmente .

Resposta

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