Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
x + y + a z = 0 x + a y + z = 0 a x + y + z = 0
Queremos determinar os valores de para os quais o conjunto de soluções seja um plano que passa pela origem. Para isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1
O conjunto de soluções é o núcleo (ou espaço solução) da matriz , ou seja, todos os vetores que satisfazem .
Passo 3
Para que seja um plano, ele deve ser um subespaço vetorial de dimensão 2. Em um sistema com 3 variáveis, isso acontece quando o posto da matriz é 1. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes.
Passo 4
Calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (a cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - a cdot 1) + a cdot (1 cdot 1 - a cdot a) para verificar o posto. Se o determinante for zero, a matriz não é de posto completo (que seria 3 para uma matriz 3x3). Vamos calcular:
det(A) = 1 cdot (a - 1) - 1 cdot (1 - a) + a cdot (1 - a^2)
det(A) = (a - 1) - (1 - a) + a(1 - a^2)
det(A) = a - 1 - 1 + a + a - a^3
det(A) = 3a - 2 - a^3
3a - 2 - a^3 = 0 implies a^3 - 3a + 2 = 0
Para o determinante ser zero:
Passo 5
Resolvemos a equação cúbica 1 - 3 + 2 = 0 (funciona) . Vamos tentar encontrar as raízes:
Testando a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) :
a^2 + a - 2 = (a + 2)(a - 1)
Então, é uma raiz. Dividindo o polinômio por :
Factorizando o quadrático:
Portanto, as raízes são (multiplicidade 2) e .
Passo 6
Para que o espaço solução seja um plano, precisamos que o posto de seja 1. Isso ocorre quando todas as colunas de são múltiplos umas das outras, ou seja, quando ou .
Resposta
Os valores de que fazem ser um plano que passa pela origem são e .