Dados os pontos e , determinar y e z tais que A , B e C sejam colineares. (pode ter outras respostas)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A questão quer que a gente encontre os valores de e de forma que esses três pontos sejam colineares. Colinear significa que os três pontos estão alinhados em uma mesma reta.
Passo 2
Para verificar se três pontos são colineares, podemos analisar os vetores que ligam esses pontos. Vamos calcular o vetor e o vetor AC = C - A = (1-1, y-2, z-1) = (0, y-2, z-1) :
Passo 3
Para que os pontos sejam colineares, os vetores AC = k cdot AB e (0, y-2, z-1) = k cdot (0, -2, -1) precisam ser paralelos. Isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro. Vamos chamar esse múltiplo de :
Substituindo os vetores:
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
0 = k cdot 0 Rightarrow 0 = 0 (sempre verdadeiro)
y - 2 = k cdot (-2) Rightarrow y = 2 - 2k
z - 1 = k cdot (-1) Rightarrow z = 1 - k
Passo 5
Vimos que y = 2 - 2(0) = 2 e z = 1 - 0 = 1 dependem do valor de . Isso significa que existem infinitas soluções para e que tornam os pontos colineares, dependendo do valor escolhido para .
Por exemplo, se escolhermos :
Então, uma solução é e . Mas podemos escolher outros valores para e obter diferentes pares de e .
Resposta
Uma das soluções é e . Outros valores de e também são possíveis, dependendo do múltiplo escolhido.