Sejam as transformações lineares T1: R^3 R^2 definida pela matriz
[T1]beta^alpha=[ccc-1 & 1 & 0 1 & -1 & 12] e T2: R^2 R^2 definida pela matriz [T2]beta^beta=[ll1 & 2 3 & 4], onde alpha é a base canônica de R^3 e beta é a base canônica de R^2. Determine:
A matriz [T2 circ T1]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e quer que a gente encontre a matriz da composição das transformações e , ou seja, . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes de transformações lineares e composição delas. Para resolver, a gente vai precisar multiplicar as matrizes das transformações na ordem correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares corresponde à multiplicação das matrizes das transformações. A matriz resultante terá as mesmas dimensões da transformação final, que nesse caso vai de para .

Passo 3

Agora, vamos identificar as matrizes que temos:
  • A matriz de [T1]beta^alpha = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 12 é:
[T2]beta^beta = 1 & 2 3 & 4
  • A matriz de é:

Passo 4

Para encontrar a matriz de [T2 circ T1]beta^alpha = [T2]beta^beta times [T1]beta^alpha , vamos multiplicar a matriz de pela matriz de . Lembrando que a ordem é importante na multiplicação de matrizes: a matriz da segunda transformação à esquerda.
Então, calculamos:

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
[
1 & 2 3 & 4 times -1 & 1 & 0 1 & -1 & 12 = (1 times -1) + (2 times 1) & (1 times 1) + (2 times -1) & (1 times 0) + (2 times 12) (3 times -1) + (4 times 1) & (3 times 1) + (4 times -1) & (3 times 0) + (4 times 12)
\times


]

Passo 6

Agora, vamos simplificar as contas:
[
= = -1 + 2 & 1 - 2 & 0 + 1 -3 + 4 & 3 - 4 & 0 + 2 = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2


]

Resposta

A matriz da transformação composta 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2 é:

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