Sejam as transformações lineares
definida pela matriz
e
definida pela matriz
, onde
é a base canônica de
e
é a base canônica de
. Determine:
A matriz
.
A matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares e quer que a gente encontre a matriz da composição das transformações
e
, ou seja,
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes de transformações lineares e composição delas. Para resolver, a gente vai precisar multiplicar as matrizes das transformações na ordem correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares
corresponde à multiplicação das matrizes das transformações. A matriz resultante terá as mesmas dimensões da transformação final, que nesse caso vai de
para
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as matrizes que temos:
- A matriz de
é:
- A matriz de
é:
Passo 4
Para encontrar a matriz de
, vamos multiplicar a matriz de
pela matriz de
. Lembrando que a ordem é importante na multiplicação de matrizes: a matriz da segunda transformação à esquerda.
Então, calculamos:
Passo 5
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
[
\times
]
Passo 6
Agora, vamos simplificar as contas:
[
=
]
Resposta
A matriz da transformação composta
é: