Provar que:
se
e
, então
se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor
e um número real
. Precisamos provar que o módulo (ou comprimento) de
é igual ao módulo de
multiplicado pelo módulo de
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial e propriedades de normas de vetores.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor
. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor pelo escalar. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o módulo de
. A fórmula do módulo de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso vetor
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, podemos fatorar
fora da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Observe que
é exatamente o módulo de
, ou seja,
. Portanto:
Resposta
Prova concluída: