Provar que:
se u=(x, y) e k in R, então |k u|=|k||u|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor e um número real . Precisamos provar que o módulo (ou comprimento) de é igual ao módulo de multiplicado pelo módulo de . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial e propriedades de normas de vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor k u = k (x, y) = (k x, k y) . Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor pelo escalar. Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo de | (a, b) | = raiza^2 + b^2 . A fórmula do módulo de um vetor |k u| = raiz(k x)^2 + (k y)^2 é:
Aplicando isso ao nosso vetor :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
|k u| = raizk^2 x^2 + k^2 y^2 = raizk^2 (x^2 + y^2)

Passo 5

Agora, podemos fatorar |k u| = raizk^2 cdot raizx^2 + y^2 fora da raiz:
|k u| = |k| cdot raizx^2 + y^2
Sabemos que , então:

Passo 6

Observe que |k u| = |k| cdot |u| é exatamente o módulo de , ou seja, . Portanto:

Resposta

Prova concluída:

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