Dê uma equação vetorial da reta , contida no plano , que forma um ângulo de com o plano e dista 1 do eixo dos .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação vetorial de uma reta que está dentro do plano . Além disso, essa reta deve formar um ângulo de com o plano e estar a uma distância de 1 unidade do eixo dos .
Conteúdo envolvido:
Equações de planos e retas no espaço.
Ângulo entre uma reta e um plano.
Cálculo de distância entre uma reta e o eixo dos .
Vamos precisar usar vetores normais dos planos, propriedades de ângulos entre vetores e planos, e fórmulas de distância entre linhas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . Sabemos que está contida no plano . A equação geral de uma reta em um plano pode ser escrita como:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta.
Passo 3
Para encontrar o vetor diretor , precisamos que ele forme um ângulo de com o plano . O ângulo entre uma reta e um plano é dado por:
onde é o vetor normal do plano .
Passo 4
Vamos encontrar o vetor normal do plano . A equação do plano tem como vetor normal:
d cdot nalpha = 0 cdot dx + 1 cdot dy + (-1) cdot dz = dy - dz
Substituindo na equação anterior:
(dy - dz)^2 = dx^2 + dy^2 + dz^22
Passo 9
Vamos também lembrar que a reta está no plano , o que implica que qualquer ponto da reta satisfaz essa equação. Portanto, podemos escolher um ponto na reta. Vamos escolher para simplificar, já que .
Passo 10
Agora, precisamos garantir que a reta está a uma distância de 1 unidade do eixo dos 0 0 0 . A distância entre duas retas paralelas é dada por uma fórmula específica, mas como nossa reta está no espaço, podemos usar a distância ponto-reta. Vamos considerar que o eixo dos 1 0 0 é a reta .
Passo 11
A distância d = |d times (a - b)||d| entre a reta e o eixo dos é dada por:
onde é um ponto na reta e é um ponto no eixo dos .
Passo 12
Selecionamos a - b = 0 0 z e d times 0 0 z = dy cdot z - dz cdot 0 dz cdot 0 - dx cdot z dx cdot 0 - dy cdot 0 = dy z -dx z 0 . Então:
Calculando o produto vetorial :
Passo 13
A norma desse vetor é:
|d times (a - b)| = raiz(dy z)^2 + (-dx z)^2 + 0^2 = |z| raizdx^2 + dy^2
A norma de é .
Passo 14
Substituindo na fórmula da distância:
1 = |z| raizdx^2 + dy^2raizdx^2 + dy^2 + dz^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
1 = z^2 (dx^2 + dy^2)dx^2 + dy^2 + dz^2
Passo 15
Multiplicando ambos os lados por dx^2 + dy^2 + dz^2 = z^2 (dx^2 + dy^2) :
Passo 16
Agora, juntando as equações que obtivemos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 17
Simplificando a primeira equação:
dy^2 - 2dy dz + dz^2 = dx^2 + dy^2 + dz^22
Multiplicando ambos os lados por 2:
2dy^2 - 4dy dz + 2dz^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
Rearranjando:
dy^2 - 4dy dz + dz^2 - dx^2 = 0
Passo 18
Agora, substituindo (dy - dz)^2 = z^2 (dx^2 + dy^2)2 da segunda equação na primeira:
Isso nos ajuda a relacionar com os componentes de .
Passo 19
Escolhendo valores simples para facilitar, podemos assumir que . Isso simplifica as equações e ainda satisfaz as condições do problema.
Escolhemos dx^2 + (4dx)^2 + dx^2 = z^2 (dx^2 + (4dx)^2) (já que dx^2 + 16dx^2 + dx^2 = z^2 (dx^2 + 16dx^2) levaria a uma solução trivial). Substituindo na segunda equação:
18dx^2 = 17z^2 dx^2
18 = 17z^2
z^2 = 1817
Cancelando z = pm raiz1817 = pm 3raiz3417 (assumindo ):
Passo 22
Agora, temos os componentes do vetor diretor dx = dz :
dy = 4dx
d = 1 4 1
Podemos escolher para simplificar, então:
Passo 23
Agora, escrevemos a equação vetorial da reta r = 0 0 3raiz3417 + t 1 4 1 , t in R . Sabemos que está no plano , então podemos escolher um ponto na reta. Vamos escolher , com .
Então, a equação vetorial de é:
Resposta
A equação vetorial da reta r = 0 0 dfrac3raiz3417 + t, 1 4 1 , t in R é: