Classifique as seguintes cônicas: 2 y^2+5 x+8 y-7=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é classificar essa cônica, ou seja, descobrir se ela é uma parábola, elipse, hipérbole ou círculo. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como reorganizar a equação para identificar a forma padrão da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar colocar a equação na forma padrão completando o quadrado. Vamos reescrever a equação agrupando os termos de 2y^2 + 8y + 5x - 7 = 0:

Passo 3

Vamos fatorar o coeficiente de 2(y^2 + 4y) + 5x - 7 = 0 do primeiro e segundo termos:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de 2(y^2 + 4y + 4 - 4) + 5x - 7 = 0, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: 2((y + 2)^2 - 4) + 5x - 7 = 0. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:

Passo 5

Distribuímos o 2:
2(y + 2)^2 - 8 + 5x - 7 = 0
2(y + 2)^2 + 5x - 15 = 0

Passo 6

Isolamos o termo 5x = -2(y + 2)^2 + 15:
x = -25(y + 2)^2 + 3

Passo 7

Observamos que a equação está na forma , que é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda. No nosso caso, como o coeficiente de é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Resposta

A cônica é uma parábola que abre para a esquerda.

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