Dados os pontos P = (2, -2, 1), Q = (3, -1, 2) e R = (3, -1, 1),
(a) encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P, Q e R;
(b) encontre um vetor unitário perpendicular ao plano que contém os pontos P, Q e R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes: a) encontrar a área do triângulo formado pelos pontos e ; e b) encontrar um vetor unitário perpendicular ao plano que contém esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos dados:

Passo 3

Para encontrar a área do triângulo, precisamos dos vetores que formam dois lados do triângulo. Vamos calcular os vetores e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois, e a área do triângulo é metade da magnitude desse vetor:

Passo 5

Vamos calcular a magnitude desse vetor resultante:
Então, a área do triângulo é metade disso:
Á

Passo 6

Agora, para a parte b, precisamos encontrar um vetor unitário perpendicular ao plano que contém os pontos e . Já temos o vetor , que é perpendicular ao plano.

Passo 7

Para transformar esse vetor em um vetor unitário, vamos dividir cada componente pela sua magnitude:
Então, o vetor unitário é:

Resposta

a) A área do triângulo é unidades de área.
b) Um vetor unitário perpendicular ao plano é .

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