Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
(a) Use o fato de que <u, v> = ||u|| ||v|| cos(theta) para mostrar a desigualdade
|<u,v>| <= ||u|| * ||v||
(b) Sob quais circunstâncias, se existirem, |<u, v>| é igual a ||u|| v||. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, um conceito importante em álgebra linear. A gente vai precisar entender o produto interno de vetores e como ele se relaciona com as normas (ou magnitudes) dos vetores. No item (a), a gente vai mostrar que o valor absoluto do produto interno de dois vetores é sempre menor ou igual ao produto das normas desses vetores, usando a relação com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de dois vetores u e v pode ser expresso como:
Aqui, ||u|| e ||v|| são as normas (ou comprimentos) dos vetores u e v, respectivamente, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos analisar o valor absoluto de ambos os lados dessa equação:
Como as normas são sempre positivas, podemos simplificar para:

Passo 4

Sabemos que o valor absoluto do cosseno de qualquer ��ngulo é sempre menor ou igual a 1, ou seja:
Multiplicando ambos os lados dessa desigualdade por , que também são positivos, temos:

Passo 5

Portanto, substituindo de volta na nossa equação original:
Isso é exatamente a Desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos demonstrar.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). A pergunta é: em quais circunstâncias, se houver, o valor absoluto do produto interno |<u, v>| é igual ao produto das normas . Para responder isso, precisamos pensar sobre quando o valor absoluto do cosseno do ângulo entre os vetores é igual a 1.

Passo 7

Voltando à relação que usamos antes:
Queremos que:
Isso acontece quando:

Passo 8

Sabemos que quando o ângulo theta é 0 ou pi radianos, ou seja, quando os vetores u e v estão na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 9

Em termos geométricos, os vetores são linearmente dependentes nessas condições. Isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro:
ou
onde k é um número real.

Resposta

Ocasionalmente, especificamente quando os vetores u e v são paralelos ou antiparalelos (isto é, um é múltiplo escalar do outro), temos .

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