Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
(a) Use o fato de que
para mostrar a desigualdade
(b) Sob quais circunstâncias, se existirem,
é igual a
. Justifique sua resposta.
(a) Use o fato de que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, um conceito importante em álgebra linear. A gente vai precisar entender o produto interno de vetores e como ele se relaciona com as normas (ou magnitudes) dos vetores. No item (a), a gente vai mostrar que o valor absoluto do produto interno de dois vetores é sempre menor ou igual ao produto das normas desses vetores, usando a relação com o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de dois vetores
e
pode ser expresso como:
Aqui,
e
são as normas (ou comprimentos) dos vetores
e
, respectivamente, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, vamos analisar o valor absoluto de ambos os lados dessa equação:
Como as normas são sempre positivas, podemos simplificar para:
Passo 4
Sabemos que o valor absoluto do cosseno de qualquer ��ngulo é sempre menor ou igual a 1, ou seja:
Multiplicando ambos os lados dessa desigualdade por
, que também são positivos, temos:
Passo 5
Portanto, substituindo de volta na nossa equação original:
Isso é exatamente a Desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos demonstrar.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b). A pergunta é: em quais circunstâncias, se houver, o valor absoluto do produto interno
é igual ao produto das normas
. Para responder isso, precisamos pensar sobre quando o valor absoluto do cosseno do ângulo entre os vetores é igual a 1.
Passo 7
Voltando à relação que usamos antes:
Queremos que:
Isso acontece quando:
Passo 8
Sabemos que
quando o ângulo
é
ou
radianos, ou seja, quando os vetores
e
estão na mesma direção ou em direções opostas.
Passo 9
Em termos geométricos, os vetores são linearmente dependentes nessas condições. Isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro:
ou
onde
é um número real.
Resposta
Ocasionalmente, especificamente quando os vetores
e
são paralelos ou antiparalelos (isto é, um é múltiplo escalar do outro), temos
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine
, o cosseno do ângulo entre
e
, a componente escalar de
na direção de
(isto é,
, com
o ângulo entre
e
) e o vetor
.
(a) e
.
(b) e
.
(a)
(b)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de
e
.
(a) e
(b)
(a)
(b)