Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de e .
(a) e
(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores, e , e queremos encontrar o produto vetorial e para cada caso. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente o cálculo de produto vetorial entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial e entender como calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores em . Se tivermos e , então:
Calculamos esse determinante expandindo por cofatores.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao item (a):
Primeiro, identificamos os componentes:
Para : , ,
Para : , ,

Passo 4

Calculando :
Expandindo:

Passo 5

Agora, calculando :
Sabemos que , então:

Passo 6

Para encontrar o comprimento dos vetores, usamos a fórmula:
Aplicando para :
E para :

Passo 7

A direção dos vetores produto é perpendicular aos vetores originais. No caso, aponta na direção de e aponta na direção de .

Passo 8

Agora, vamos para o item (b):
Identificando os componentes:
Para : , ,
Para : , ,

Passo 9

Calculando :
Expandindo:
Então,

Passo 10

Como o produto vetorial resultou no vetor nulo, isso significa que os vetores e são paralelos ou um deles é o vetor nulo. Neste caso, eles não são paralelos, mas o cálculo mostrou que são vetores que anulam o produto vetorial.

Resposta

(a) com comprimento , e com comprimento .
(b) .

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(a) Use o fato de que para mostrar a desigualdade
(b) Sob quais circunstâncias, se existirem, é igual a . Justifique sua resposta.
Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d) e .