Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de u x v e v x u.
(a) u = 2i - 2j - k e v = i - k
(b) u = 2i - 2j + 4k e v = -i + j - 2k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores, u e v, e queremos encontrar o produto vetorial u x v e v x u para cada caso. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente o cálculo de produto vetorial entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial e entender como calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores em . Se tivermos e , então:
Calculamos esse determinante expandindo por cofatores.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao item (a):
Primeiro, identificamos os componentes:
Para u: , ,
Para v: , ,

Passo 4

Calculando u x v:
Expandindo:

Passo 5

Agora, calculando v x u:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para encontrar o comprimento dos vetores, usamos a fórmula:
Aplicando para u x v:
E para v x u:

Passo 7

A direção dos vetores produto é perpendicular aos vetores originais. No caso, u x v aponta na direção de e v x u aponta na direção de .

Passo 8

Agora, vamos para o item (b):
Identificando os componentes:
Para u: , ,
Para v: , ,

Passo 9

Calculando u x v:
Expandindo:
Então,

Passo 10

Como o produto vetorial resultou no vetor nulo, isso significa que os vetores u e v são paralelos ou um deles é o vetor nulo. Neste caso, eles não são paralelos, mas o cálculo mostrou que são vetores que anulam o produto vetorial.

Resposta

(a) com comprimento , e com comprimento .
(b) .

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