Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de e .
(a) e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores, e , e queremos encontrar o produto vetorial e para cada caso. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente o cálculo de produto vetorial entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do produto vetorial e entender como calcular determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores em . Se tivermos e , então:
Calculamos esse determinante expandindo por cofatores.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao item (a):
Primeiro, identificamos os componentes:
Para u: , ,
Para v: , ,
Passo 4
Calculando u x v:
Expandindo:
Passo 5
Agora, calculando v x u:
Sabemos que , então:
Passo 6
Para encontrar o comprimento dos vetores, usamos a fórmula:
Aplicando para u x v:
E para v x u:
Passo 7
A direção dos vetores produto é perpendicular aos vetores originais. No caso, u x v aponta na direção de e v x u aponta na direção de .
Passo 8
Agora, vamos para o item (b):
Identificando os componentes:
Para u: , ,
Para v: , ,
Passo 9
Calculando u x v:
Expandindo:
Então,
Passo 10
Como o produto vetorial resultou no vetor nulo, isso significa que os vetores u e v são paralelos ou um deles é o vetor nulo. Neste caso, eles não são paralelos, mas o cálculo mostrou que são vetores que anulam o produto vetorial.