Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre produtos vetoriais. A gente vai analisar quatro afirmações diferentes envolvendo vetores e o produto vetorial. Para isso, precisamos lembrar das propriedades básicas do produto vetorial, como ele se comporta com o vetor zero, se é comutativo, e como ele se relaciona com o produto escalar. Vamos ver cada item passo a passo.
Passo 2
Item (a):
.
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de qualquer vetor com o vetor zero (
) sempre resulta no vetor zero. Isso porque o vetor zero não tem direção nem magnitude, então não há sentido em ter um produto vetorial diferente de zero.
Matematicamente:
Portanto, essa desigualdade é sempre verdadeira.
Passo 3
Item (b):
.
Aqui, estamos multiplicando um vetor
pelo seu oposto
. O produto vetorial de dois vetores que são colineares (ou seja, estão na mesma linha, mesmo sentido ou sentidos opostos) sempre é o vetor zero, porque o seno do ângulo entre eles é zero.
Então:
Isso significa que essa desigualdade é sempre verdadeira.
Passo 4
Item ©:
.
Sabemos que o produto vetorial não é comutativo. Na verdade, ele é anti-comutativo, ou seja:
Isso mostra que:
Portanto, essa desigualdade nem sempre é verdadeira.
Passo 5
Item (d):
.
Aqui, temos o produto escalar entre o produto vetorial
e o vetor
. Uma propriedade importante é que o produto vetorial
é sempre perpendicular a ambos os vetores
e
. Como o produto escalar entre vetores perpendiculares é zero, temos:
Portanto, essa desigualdade é sempre verdadeira.
Resposta
As desigualdades dos itens (a), (b) e (d) são sempre verdadeiras, pois obedecem às propriedades do produto vetorial. Já a desigualdade do item © nem sempre é verdadeira, já que o produto vetorial não é comutativo.
Exercícios relacionados
Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de
e
.
(a) e
(b)
(a)
(b)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d) e
.
(d)
Sabendo que
, calcule:
(a) .
(b) .
(a)
(b)