Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) u x 0 = 0 x u = 0.
(b) u x (-u) = 0.
© u x v = v x u.
(d) <u>u</u> x <u>v</u>, <u>v</u> = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre produtos vetoriais. A gente vai analisar quatro afirmações diferentes envolvendo vetores e o produto vetorial. Para isso, precisamos lembrar das propriedades básicas do produto vetorial, como ele se comporta com o vetor zero, se é comutativo, e como ele se relaciona com o produto escalar. Vamos ver cada item passo a passo.

Passo 2

Item (a): .
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de qualquer vetor com o vetor zero ( 0) sempre resulta no vetor zero. Isso porque o vetor zero não tem direção nem magnitude, então não há sentido em ter um produto vetorial diferente de zero.
Matematicamente:
Portanto, essa desigualdade é sempre verdadeira.

Passo 3

Item (b): .
Aqui, estamos multiplicando um vetor u pelo seu oposto . O produto vetorial de dois vetores que são colineares (ou seja, estão na mesma linha, mesmo sentido ou sentidos opostos) sempre é o vetor zero, porque o seno do ângulo entre eles é zero.
Então:
Isso significa que essa desigualdade é sempre verdadeira.

Passo 4

Item ©: .
Sabemos que o produto vetorial não é comutativo. Na verdade, ele é anti-comutativo, ou seja:
Isso mostra que:
Portanto, essa desigualdade nem sempre é verdadeira.

Passo 5

Item (d): .
Aqui, temos o produto escalar entre o produto vetorial u x v e o vetor v. Uma propriedade importante é que o produto vetorial u x v é sempre perpendicular a ambos os vetores u e v. Como o produto escalar entre vetores perpendiculares é zero, temos:
Portanto, essa desigualdade é sempre verdadeira.

Resposta

As desigualdades dos itens (a), (b) e (d) são sempre verdadeiras, pois obedecem às propriedades do produto vetorial. Já a desigualdade do item © nem sempre é verdadeira, já que o produto vetorial não é comutativo.

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