Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) .
(b) .
© .
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre produtos vetoriais. A gente vai analisar quatro afirmações diferentes envolvendo vetores e o produto vetorial. Para isso, precisamos lembrar das propriedades básicas do produto vetorial, como ele se comporta com o vetor zero, se é comutativo, e como ele se relaciona com o produto escalar. Vamos ver cada item passo a passo.

Passo 2

Item (a): .
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de qualquer vetor com o vetor zero ( ) sempre resulta no vetor zero. Isso porque o vetor zero não tem direção nem magnitude, então não há sentido em ter um produto vetorial diferente de zero.
Matematicamente:
Portanto, essa desigualdade é sempre verdadeira.

Passo 3

Item (b): .
Aqui, estamos multiplicando um vetor pelo seu oposto . O produto vetorial de dois vetores que são colineares (ou seja, estão na mesma linha, mesmo sentido ou sentidos opostos) sempre é o vetor zero, porque o seno do ângulo entre eles é zero.
Então:
Isso significa que essa desigualdade é sempre verdadeira.

Passo 4

Item ©: .
Sabemos que o produto vetorial não é comutativo. Na verdade, ele é anti-comutativo, ou seja:
Isso mostra que:
Portanto, essa desigualdade nem sempre é verdadeira.

Passo 5

Item (d): .
Aqui, temos o produto escalar entre o produto vetorial e o vetor . Uma propriedade importante é que o produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores e . Como o produto escalar entre vetores perpendiculares é zero, temos:
Portanto, essa desigualdade é sempre verdadeira.

Resposta

As desigualdades dos itens (a), (b) e (d) são sempre verdadeiras, pois obedecem às propriedades do produto vetorial. Já a desigualdade do item © nem sempre é verdadeira, já que o produto vetorial não é comutativo.

Exercícios relacionados

Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de e .
(a) e
(b)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d) e .
Sabendo que , calcule:
(a) .
(b) .