Encontre as coordenadas do vértice oposto a B no paralelogramo A B C D, sendo dados A(3,-2,3), B(5,1,-3) e C(0,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo ABCD com três vértices conhecidos: A(3, -2, 3), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2). Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vértice D, que está do lado oposto ao B.
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica sobre paralelogramos, especificamente a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo se bissetam. Isso significa que o ponto médio da diagonal AC é o mesmo que o ponto médio da diagonal BD.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio da diagonal AC. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 )
Aplicando isso aos pontos A(3, -2, 3) e C(0, 1, 2):
M = ( 3 + 02, -2 + 12, 3 + 22 ) = ( 32, -12, 52 )
Então, o ponto médio de AC é ( 32, -12, 52 ).

Passo 3

Agora, sabemos que esse mesmo ponto médio deve ser o ponto médio da diagonal BD. Nós já temos as coordenadas de B(5, 1, -3) e queremos encontrar D(x, y, z).
Usando a mesma fórmula do ponto médio, temos:
( 5 + x2, 1 + y2, -3 + z2 ) = ( 32, -12, 52 )
Isso nos dá um sistema de equações para resolver.

Passo 4

Vamos resolver cada coordenada separadamente:
  1. Coordenada x:
5 + x2 = 32 5 + x = 3 x = 3 - 5 x = -2
  1. Coordenada y:
1 + y2 = -12 1 + y = -1 y = -1 - 1 y = -2
  1. Coordenada z:
-3 + z2 = 52 -3 + z = 5 z = 5 + 3 z = 8

Resposta

As coordenadas do vértice D são (-2, -2, 8).

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